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Mostre que \( P(u < X \leq v) = F(v) - F(u) \) para todo \( u \) e \( v \) nos casos em que (a) \( X \) é uma variável aleatória discreta e (b) \( X \) é uma variável aleatória contínua.

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perguntada Mar 12 em Estatística por Thiago Trafane (21 pontos)  

Exercício 5 do Capítulo 2 do livro Mathematical Statistics and Data Analysis, de John A. Rice.

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1 Resposta

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respondida Mar 12 por Thiago Trafane (21 pontos)  

Seja \( P: \mathscr{F} \rightarrow [0,1] \) a função probabilidade associada a um experimento aleatório, em que \( \mathscr{F} \) é uma \( \sigma\)-algebra no espaço amostral \( \Omega \). Então, como \( P \) é função probabilidade, ela deve satisfazer o axioma da aditividade, de modo que \( P (A \cup B) = P(A) + P(B) \) para \( A, B \in \mathscr{F} \) tais que \( A \cap B = \emptyset \).

Seja \( X: \Omega \rightarrow \Re \) uma variável aleatória associada a esse experimento aleatório. Tome, então, \( u,v \in \Re \) tais que \( u \leq v \) quaisquer. Note que \( (-\infty,v] = (-\infty,u] \cup (u,v] \), em que \( (-\infty,u] \cap (u,v] = \emptyset \). Então, da definição de variável aleatória como uma função e do axioma da aditividade de \( P \),

\( P (X \in (-\infty,v]) = P (X \in (-\infty,u]) + P( X \in (u,v]) \)
\( P( X \in (u,v]) = P(u < X \leq v) = P( X \in (-\infty,v]) - P ( X \in(-\infty,u]) \)

Ora, mas sendo \( F: \Re \rightarrow [0,1] \) a função de densidade acumulada, temos que, por definição, \( F(s) = P( X \in (-\infty,s]), \forall s \in \Re \). Então,

\( P(u < X \leq v) = F(v) - F(u) \)

Note que a demonstração usou apenas um axioma da função probabilidade e as definições de função densidade acumulada e variável aleatória, todas válidas tanto para distribuições discretas quanto para distribuições contínuas. Logo, o resultado acima é válido para ambos os tipos de distribuição, encerrando a demonstração.

comentou Abr 4 por Fabio Fujita (36 pontos)  
A resposta do Thiago utilizou propriedades da função probabilidade para provar, em uma única demonstração, os casos da variável aleatória discreta (item a) e da variável aleatória contínua (item b).

Uma solução alternativa seria utilizar as definições da função de distribuição acumulada e fazer as demonstrações dos casos discreto e contínuo separadamente.

**Item a - Variável aleatória discreta**

Da definição da função de distribuição acumulada no caso discreto, sabemos que:

\(  P(X \leq b)  =  F(b) = \sum\limits_{x_i \leq b}     f(x_i)  \)


onde \(  f(x_i)  \) representa a função massa de probabilidade para \( X=x_i\).

Dessa maneira, levando em consideração os axiomas já citados pelo Thiago:

\(  P( u < X \leq v)  =   \sum\limits_{x_i \leq v}     f(x_i)     -   \sum\limits_{x_i \leq u}     f(x_i)    =
  F(v)-F(u)   \)

  
**Item b - Variável aleatória contínua**

Da definição da função de distribuição acumulada no caso contínuo, sabemos que:

\(  P(X \leq b)  =  F(b) = \int_{-\infty}^{b}     f(x)  dx\)


onde \(  f(x)  \) representa a função densidade de probabilidade de X.

Das propriedades de integrais definidas, e dos axiomas já citados pelo Thiago, sabemos que:

\(  P( u < X \leq v)  =   \int_{u}^{v}     f(x)  dx    = \int_{-\infty}^{v}     f(x)  dx   -   \int_{-\infty}^{u}     f(x)  dx   \)

\(  P( u < X \leq v)  =  F(v)-F(u) \)

Lembrando que, no caso contínuo, sabemos que \( P(X=x)=0 \), logo:

\(  P( u < X \leq v) = P( u \leq X < v) = P( u \leq X \leq v) = P( u < X < v)  \)
comentou Abr 5 por Thiago Trafane (21 pontos)  
Muito obrigado pelo comentário, Fabio!
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