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Exercício 14- Capítulo 3 do livro Mathematical Statistics and Data Analysis - John A. Rice

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perguntada Mar 14 em Estatística por Maria Salete (41 pontos)  
editado Mar 14 por Maria Salete

Suponha que:

\[f(x, y)=x e^{-x(y+1)}, \quad 0 \leq x<\infty, \quad 0 \leq y<\infty\]</p>

a)Encontre as densidades marginais de X e Y. X e Y são independentes?
b) Encontre as funções de distribuição condicionais de X e Y.

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1 Resposta

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respondida Mar 14 por Maria Salete (41 pontos)  
editado Mar 15 por Maria Salete

Conceitos:

Se \(f(x, y)\) é a densidade conjunta de \(X\) e \(Y\), então a função de densidade marginal de \(X\) é:

\[f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y\]

De modo similar, a função de densidade marginal de \(Y\) é:

\[f_{Y}(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x\]

Sendo (X,Y) um vetor aleatório contínuo com função de distribuição de probabilidade (fdp) conjunta \(f(x,y)\), e denotando por \(f_{X}(x)\) e \(f_{Y}(y)\) as distribuições marginais de X e Y , respectivamente, então, as distribuições condicionais de X e Y, são:

A fdp de \(X\) condicionada a um dado Y=y é definida por:

\[f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}, \quad \text { onde } f_{Y}(y)>0\]

A fdp de \(Y\) condicionada a um dado \(X=x\) é definida por:

\[f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_{X}(x)}, \quad \text { onde } f_{X}(x)>0\]

X e Y serão independentes se:

\(f_{X \mid Y}(x \mid y)=f_{X}(x)\), para todo \((x, y)\), ou, de modo análogo, se \(f_{Y \mid X}(y \mid x)=f_{Y}(y)\), para todo \((x, y).\)

Uma outra forma, é observar que, se X e Y são independentes:

\[f(x,y) = f_{X}(x) . f_{Y}(y)\]

Resolução:

Letra a)

A função de densidade marginal de \(X\) é:

\(f_{X}(x)=\int_{0}^{+\infty} x e^{-x(y+1)} d y\) = \(\left[-x e^{-x(y+1)}\left.\right|_{0} ^{+\infty}=\right.\) \( = 0 - (- e^{-x}) = e^{-x}\)

A função de densidade marginal de \(Y\) é:

\(f_{Y}(y)=\int_{0}^{+\infty} x e^{-x(y+1)} d x\)

A resolução dessa integral requer um pouco mais de tempo. Primeiro, vamos escrever a integral com um limite quando \(t\) se aproxima de \(\infty\):

\(\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} x e^{-x(y+1)} d x\),

Vamos integrar por partes, usando a fórmula: \(\int u d v=u v-\int v d u\)
onde \(u=x\) e \(\ d v=e^{-x(y+1)}\).
\(\left.\lim _{t \rightarrow \infty} x \frac{e^{-x(y+1)}}{-y-1}\right]_{0}^{t}-\int_{0}^{t} \frac{e^{-x(y+1)}}{-y-1} d x\) =

\(=\left.\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{x e^{-x(y+1)}}{-y-1}\right]_{0}^{t}-\left(\frac{1}{-y-1} \int_{0}^{t} e^{-x(y+1)} d x\right)\) =

Sendo \(u= -x(y+1)\), \(du=(-y-1) dx\), reescrevendo \(u\) e \(du\):

\(=\left.\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{x e^{-x(y+1)}}{-y-1}\right]_{0}^{t}-\frac{1}{-y-1} \int_{0}^{-t y-t} e^{u} \frac{1}{-y-1} d u\) =

\(=\left.\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{x e^{-x(y+1)}}{-y-1}\right]_{0}^{t}-\frac{1}{-y-1}\left(\frac{1}{-y-1} \int_{0}^{-t y-t} e^{u} d u\right)\) =

\(=\left.\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{x e^{-x(y+1)}}{-y-1}\right]_{0}^{t}-\frac{1}{(-y-1)^{2}} \int_{0}^{-t y-t} e^{u} d u\) =

\(=\left.\left.\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{x e^{-x(y+1)}}{-y-1}\right]_{0}^{t}-\frac{1}{(-y-1)^{2}} e^{u}\right]_{0}^{-t y-t}\) =

Substituindo e simplificando,

\(=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\left.\left.\frac{x e^{-x(y+1)}}{-y-1}\right]_{0}^{t}(-y-1)^{2}-\left(e^{u}\right]_{0}^{-t y-t}\right)}{(-y-1)^{2}}\) =

\(=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{t e^{-t(y+1)}(-y-1)-\left(e^{-t y-t}-1\right)}{(-y-1)^{2}}\) \(= \frac{1}{(-y-1)^{2}}=\frac{1}{(y+1)^{2}}\).
Portanto,

\(f_{X}(x)= e^{-x}\) e \(f_{Y}(y)= \frac{1}{(y+1)^{2}}\).

Testando se são independentes:

\[ f_{X}(x) . f_{Y}(y) = \frac{e^{-x}}{(y+1)^{2}} \neq f(x,y) =x e^{-x(y+1)} \]

Logo, \(X\) e \(Y\) não são independentes.

Letra b)

A fdp de \(X\) condicionada a um dado Y=y é igual a:

\(f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}\)= \(\frac{x e^{-x(y+1)}} { \frac{1}{(y+1)^{2}}}\)\(= x e^{-x(y+1)} (y+1)^{2}\)

A fdp de \(Y\) condicionada a um dado \(X=x\) é igual a:

\(f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_{X}(x)}\)= \(\frac{x e^{-x(y+1)}} {e^{-x}}\) \(=x e^{-xy}\).

Observe que, olhando pras distribuições condicionais, também é possível afirmar que as variáveis \(X\) e \(Y\) não são independentes.

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