Se \(X_{1}\) é uniformemente distribuído em \([0,l]\) e \( X_{2}\) condicional em \(X_{1}\) é uniformemente distribuído em \([0,X_{1}]\) encontre a as distribuições marginais e conjuntas de \(X_{1}\) e \(X_{2}\).

Question

Exercício 20 do capítulo 3 do livro Mathematical Statistics de John A. Rise.

"If \(X_{1}\) is uniform on [0, l], and, conditional on \(X_{1}\), \(X_{2}\), is uniform on [0, X1], find the joint and marginal distributions of \(X_{1}\) and \(X_{2}\). "

Em tradução livre:

Se \(X_{1}\) é uniformemente distribuído em \([0,l]\) e \( X_{2}\) condicional em \(X_{1}\) é uniformemente distribuído em \([0,X_{1}]\) encontre a as distribuições marginais e conjuntas de \(X_{1}\) e \(X_{2}\).

Answer 1

A função de densidade condicional de \(X_{2}\) é \(f(X_{2}|X{1})= \frac{1}{X_{1}}, 0 < X_{1} < l, 0< X_{2} < X_{1} \) então a função distribuição acumulada será: \[f(X_{1},X{2})= \frac{1}{X_{1}} \]
Para encontrar as marginais basta integrar com relação a outra variável, isso é: \[f(X_{i}) = \int f(X_{i}, X_{j}) dX_{j}\]

Logo \[f(X_{1}) = \int_{0}^{X_{1}} \frac{1}{X_{1}} dX_{2} = 1\ \forall\ X_{1}\in\ [0,l] \]

e

\[f(X_{2}) = \int_{X_{2}}^{l} \frac{1}{X_{1}} dX_{1} = ln(l) - ln(X_{2})\ \forall\ X_{2}\ \in [0,l] \]

Comments

Achei a resolução bem objetiva. No entanto, cheguei a um resultado diferente do seu. Abaixo apresento minha resolução, e, também,  me alongo mais em algumas definições e cálculos pra quem não for do curso.

A distribuição uniforme possui uma função  de densidade de probabilidade (fdp)constante em todo o  intervalo em que for diferente de zero. Logo, se a variável aleatória uniforme X assumir valores no intervalo \([a, b],\) então a sua função  de densidade de probabilidade é:

\(f(x)=\frac{1}{b-a}, \quad \text { para todo } x \in[a, b]\) e \( f(x)=0, \quad \text {caso contrário}\)

 Porque a fdp deve integrar 1 em toda a região que está definida diferente de zero.

Portanto, como \(X\) é uma variável  aleatória que é distribuída uniforme no intervalo \([a,b]\), podemos representar como: \(X \sim U([a, b])\).

Na questão, \({X_{1}}\sim U([0, 1])\). Portanto,

\[f({X_{1}})=\frac{1}{1-0}=1, \quad \text { para todo } {X_{1}} \in[0, 1]\]
Como \(X_{2}|X_{1}\sim U([0,{X_{1}} ])\),
\[f{(X_{2}|X_{1}})=\frac{1}{X_{1}-0}=\frac{1}{X_{1}}, \quad \text { para todo } {X_{2}} \in[0, X_{1}]\]
\[f(X_{2}|X_{1})= \frac{f(X_{2},X_{1})}{f(X_{1})}\]

\[f(X_{2},X_{1})= \frac{1}{X_{1}}, \ 0 \leq x_{1} \leq 1, \quad 0 \leq x_{2} \leq x_{1}\]
Se \(f(X_{1},X_{2})\) é a densidade conjunta de \(X_{1}\) e \(X_{2}\), então as funções de densidade marginais de \(X_{1}\) e \(X_{2}\), respectivamente, são:
\[f(X_{1}) = \int_{0}^{X_{1}} \frac{1}{X_{1}}  dX_{2} = \left[ \frac{1}{X_{1}} X_{2}\left.\right|_{0} ^{X_{1}}\right.=1,\ \text{para} {X_{1}} \in[0, 1]\]
\[f(X_{2}) = \int_{X_{2}}^{{1}} \frac{1}{X_{1}}  dX_{1} =\left[ ln(X_{1})\left.\right|_{X_{2}} ^{1}\right.=  0- ln(X_{2})= \ln \left(\frac{1}{x_{2}}\right), \text{para} {X_{2}} \in(0, 1]\]

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Muito obrigado pelo comentário, a sua explicação do primeiro passo ficou excelente e muito melhor para alguém que está começando a brincar com estatística.

De fato \(f(X_{1})\) está errado, besteira minha na hora de manobrar o Latex. Quanto a \(f(X_{2})\)  perceba que \(X_{1}\) está definido no intervalo \([0,l]\), se \(l=1\) chegamos no mesmo resultado.

Editei a resposta orginal para apresentar \(f(X_{1})\) e aproveitei para definir melhor os intervalos de \(f(X_{1})\) e \(f(X_{2})\).

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Realmente, acabei não me atentando a isso. Obrigada por me avisar.