Mostre que \(var(X - Y) = var(X) + var(Y) - 2cov(X, Y)\)

Question

Questão do livro "Mathematical statistics and data analysis", do Rice J.A. Capítulo 4, exercício 43 (página 169).

Answer 1

Da seção 4.2 do livro do Rice, temos o Teorema B que diz:
\(var(J) = E(J^2) - E^2(J)\)

Assim: \(\\var (X - Y) = \\ =
E[(X - Y)^2] - E^2(X - Y) \\
= E(X^2 - 2XY + Y^2) - {[E(X - Y) E(X - Y)]}
\\= E(X^2) - 2E(XY) + E(Y^2) - [E(X) - E(Y)]^2
\\= E(X^2) - 2E(XY) + E(Y^2) - [E^2(X) - 2E(X)E(Y) + E^2(Y)]\)

Rearrumando:

\(= E(X^2) - E^2(X) + E(Y^2) - E^2(Y) - 2[E(XY) - E(X)E(Y)] \) .

Ainda, pela definição da seção 4.3 do livro, sabemos que:
\(cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)

Logo, usando as definições de variância e covariância, teremos:
\(var(X - Y) = var(X) + var(Y) - 2cov(X, Y)\)

Comments

Parabéns pela resposta, Rodrigo!

De fato, aplicando a definição de \(var(X) = E[(X-E(X))^2]=E(X^2) - E^2(X)\).

E também,

\begin{align}
Cov(X,Y)&=E[(X-E(X))](Y-E(Y))]\\
&=E(XY)-E(X E(Y))-E(Y[E(X))+ E(X)E(Y)\\
&=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)\\
&=E(XY)-E(X)E(Y)
\end{align}

Então, temos que  \(var(X - Y) = var(X) + var(Y) - 2cov(X, Y)\), como muito bem demonstrado acima.

Também, aplicando o mesmo raciocínio temos que

\begin{align}
var (X + Y)& = E[(X + Y)^2] - E^2(X + Y) \\
&= E(X^2 + 2XY + Y^2) - {[E(X + Y) E(X + Y)]} \\
&= E(X^2) + 2E(XY) + E(Y^2) - [E(X) + E(Y)]^2  \\
&= E(X^2) + 2E(XY) + E(Y^2) - [E^2(X) + 2E(X)E(Y) + E^2(Y)] \\
& =E(X^2)−E^2(X)+E(Y^2)−E^2(Y)+2[E(XY)−E(X)E(Y)] .
\end{align}

Logo, \(var(X+Y)=var(X)+var(Y)+2cov(X,Y)\).

Ou seja, tanto \(var(X+Y)\) como \(var(X-Y)\) possuam a soma de \(var(X)\) e \(var(Y)\), e o que diferencia é a parcela da \(2cov(X,Y)\), que é positiva para a variância da soma e negativa no caso da variância da diferença entre \(X\) e \(Y\).