Da seção 4.2 do livro do Rice, temos o Teorema B que diz:
\(var(J) = E(J^2) - E^2(J)\)
Assim: \(\\var (X - Y) = \\ =
E[(X - Y)^2] - E^2(X - Y) \\
= E(X^2 - 2XY + Y^2) - {[E(X - Y) E(X - Y)]}
\\= E(X^2) - 2E(XY) + E(Y^2) - [E(X) - E(Y)]^2
\\= E(X^2) - 2E(XY) + E(Y^2) - [E^2(X) - 2E(X)E(Y) + E^2(Y)]\)
Rearrumando:
\(= E(X^2) - E^2(X) + E(Y^2) - E^2(Y) - 2[E(XY) - E(X)E(Y)] \) .
Ainda, pela definição da seção 4.3 do livro, sabemos que:
\(cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)
Logo, usando as definições de variância e covariância, teremos:
\(var(X - Y) = var(X) + var(Y) - 2cov(X, Y)\)