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Se \(F_{1}, F_{2}, ...\) são mutuamente excludentes e exaustivos, então a coleção de todas as uniões contáveis mais o conjunto vazio é uma \(\sigma\)-algebra.

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perguntada Mar 17 em Matemática por Ricardo Saldanha (1 ponto)  
editado Mar 18 por Ricardo Saldanha

[Adaptada de: Ronald Gallant (1997). An introduction to econometric theory - cap. 1, exc. 9] Gostaria de demonstrar formalmente o seguinte fato:
Sejam \(F_{1}, F_{2}, ...\) mutuamente excludentes e exaustivos, então a coleção de todas as uniões contáveis mais o conjunto vazio é uma \(\sigma\)-algebra.

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1 Resposta

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respondida Mar 17 por Ricardo Saldanha (1 ponto)  
editado Mar 18 por Ricardo Saldanha

Primeiramente, enunciemos a definição de \(\sigma\)-algebra [Adaptada de: Ronald Gallant (1997). An introduction to econometric theory - cap. 1]:
Uma \(\sigma\)-algebra é uma coleção \( \cal B \) de conjuntos que satisfaz:
(i) \( \emptyset \in \cal B\).
(ii) Se \(B \in \cal B \), então \(B^{c} \in \cal B \) (fechado em complementaridade).
(iii) Se \(B_{1},B_{2}... \in \cal B \), então \( {\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty} B_{i} \in \cal B } \) (fechado em união contável).

Demonstremos o fato descrito na pergunta:

Seja \( \cal A\) a coleção de todas as uniões contáveis. E seja \(\cal F = \cal A \cup \emptyset \), i.e., o conjunto definido no enunciado do fato.
O item (i) da definição de \( \sigma\)-algebra é diretamente atendido pela definição de \( \cal F \). Mostremos que \( \cal F \) atende aos dois outros itens:

Item (iii)
Podemos escrever um \( A \in \cal A \) da seguinte forma: \(A = {\displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{i_{k}} } \), em que \( (F_{i_{k}}) = (F_{i_{1}},...,F_{i_{k}},....) \) é uma subsequência não vazia da sequência \( (F_{i}) = (F_{1},...,F_{i},...) \).
Como uma subsequência só pode conter elementos da sequência que a origina, dadas subsequências \( (F_{i_{k}}), (F_{j_{k}}), ... \), temos que \( {\displaystyle \bigg( \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{i_{k}}\bigg) \cup \bigg( \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{j_{k}}\bigg) \cup }\:... \) tem apenas elementos de \( (F_{i}) \). Logo existe uma seleção r de elementos de \( (F_{i}) \), i.e., uma subsequência \((F_{r_{k}})\), que produz \( {\displaystyle \bigg( \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{i_{k}}\bigg) \cup \bigg( \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{j_{k}}\bigg) \cup\:... = \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{r_{k}} }\). E este último é apenas mais um elemento de \( \cal A \). Portanto, traduzindo novamente para os conjuntos, \(A_{1}, A_{2},... \in \cal A \) implica \( {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\: \cup ... = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} } \in \cal A \). A extensão para \( \cal F \) é imediata: \( \emptyset, A_{1}, A_{2},... \in \cal F\) implica \( {\displaystyle \bigg( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \bigg) \cup \emptyset } \in \cal F \).

Item (ii)

Por hipótese, \( F_{1}, F_{2},...\) são exaustivos, i.e., \( {\displaystyle \bigcup_{i=1}^{\infty} F_{i} = \Omega } \). Seja \( (F_{-i_{k}}) \) a subsequência que seleciona todos os elementos de \( (F_{i}) \) que não foram selecionados por \( (F_{i_{k}}) \). Assim, \( {\displaystyle \bigg( \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{i_{k}}\bigg) \cup \bigg( \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{-i_{k}}\bigg) = \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{i} = \Omega } \; \) (1).
Por hipótese, \( F_{1}, F_{2},...\) são mutuamente exclusivos, i.e., \( F_{1} \cap F_{2} \cap ... = \emptyset \), ou, ainda, os conjuntos de \( (F_{i}) \) são disjuntos. Dessa forma, se \(x\) está num conjunto \(F\) em \( (F_{i}) \), \(x\) não está em qualquer outro conjunto em \( (F_{i}) \). Logo as seleções não apenas não têm conjuntos em comum, como não possuem elemento algum em comun; ou seja, \( {\displaystyle \bigg( \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{i_{k}}\bigg) \cap \bigg( \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{-i_{k}}\bigg) = \emptyset } \;\; \) (2).
Note que a própria \( {\displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{i} \in \cal A } \), mas \( {\displaystyle \bigg( \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{i} \bigg)^{c} = (\Omega)^{c} = \emptyset } \in \cal F \setminus \cal A \;\; \) (3).
Por (1), (2) e (3), temos que, para qualquer subsequência não vazia \( (F_{i_{k}}) \ne (F_{i}) \), \( {\displaystyle \bigg( \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{i_{k}} \bigg)^{c} = \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{-i_{k}} \in \cal A } \). Portanto \( {\displaystyle A \in {\cal A} \setminus \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{i} } \) implica \( (A)^{c} \in \cal A \).
Basta admitir \( {\displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty} F_{i} } \) e considerar (3) para concluirmos que \( F \in \cal F \) implica \( (F)^{c} \in \cal F \).

Q.E.D

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