Se X e Y são independentes, mostre que \[\mathbb{E}[Y|X=x]=\mathbb{E}[Y]\]

Question

Questão 70 do Capítulo 4 do livro Mathematical Statistcs and Data Analysis do John Rice.

Answer 1

O valor esperado de Y dado X = x é o valor esperado da distribuição condicional \[F_{Y|X}(y|x)\]

Para o caso discreto temos
\[\mathbb{E}[Y|X=x]=\frac{\sum_{j=1}^{\infty}\tau_j\pi(x,\tau_j)}{\pi_X(x)}\]

Para o caso contínuo
\[\mathbb{E}[Y|X=x]=\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y|X}(y|x)dy=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}yf(y,x)dy}{\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy}\]

A esperança condicional nos dá o valor médio de Y dado que X é igual à algum x específico.

Quando X é discreto, a esperança condicional é o valor esperado de Y com a sub-população de X = x.
Por exemplo se X for gênero, então \[\mathbb{E}[Y|X=x]\] é o valor esperado para homens e mulheres. Se X for educação é o valor esperado para cada nível educacional.

Quando X é contínuo, a esperança condicional é o valor esperado de Y para uma população infinitesimalmente pequena \[X\simeq x\]
O enunciado nos informou que X e Y são independentes, isso significa que \[\mathbb{P}[X\cap Y]=\mathbb{P}[X]\times\mathbb{P}[Y]\]
Considerando os eventos \[X = {X\leq x}\] e \[Y={Y\leq y}\] temos \[\mathbb{P}[X\cap Y]=\mathbb{P}[X\leq x,Y\leq y]=F(x,y)\] e \[\mathbb{P}[X]\mathbb{P}[Y]=\mathbb{P}[X\leq x]\mathbb{P}[Y\leq y]=F_X(x)F_Y(y)\]

Portanto se X e Y são independentes \[F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\]
derivando chegamos em \[f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\]

No caso discreto chegamos em \[\pi(x,y)=\pi_X(x)\pi_Y(y)\]

Portanto, isso nos leva ao resultado de que, se X e Y são independentes \[f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{f_X(x)f_Y(y)}{f_X(x)}=f_Y(y)\]

\[\therefore\mathbb{E}[Y|X=x]=\mathbb{E}[Y]\] quando X e Y são independentes.

Comments

Samuel, na terceira equação, da esperança condicional para o caso contínuo, me parece que você confundiu a função no denominador no último termo da igualdade. Creio que deveria ficar assim:

\(\mathbb{E}[Y|X=x]=\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y|X}(y|x)dy=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}yf(y,x)dy}{\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(x)dy}\)

Tirando isso sua resolução ficou muito boa. Para o caso discreto eu faria usando uma notação que me agrada mais, que estou mais acostumado, e ficaria assim:

\(\mathbb{E}[Y|X=x]=\sum_{j=1}^{\infty}yP(Y = y|X= x)=\sum_{j=1}^{\infty}y\frac{P(X =x, Y = y)}{P(X =x)}\)

Como X e Y são independentes:

\(\mathbb{E}[Y|X=x]=\sum_{j=1}^{\infty}y\frac{P(X =x)P(Y = y)}{P(X =x)} = \sum_{j=1}^{\infty}yP(Y = y) = \mathbb{E}[Y]\)