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Qual a probabilidade de acertar 12 ou mais de 20 questões de múltipla escolha numa prova chutando entre 3 alternativas?

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perguntada Mar 22 em Estatística por Pedro Silva (1 ponto)  

Problema 13 do capítulo 2 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" do autor John Rice.

Enunciado do Problema:
Um teste de múltipla escolha consiste em 20 itens, cada com quatro alternativas. O estudante pode eliminar uma das alternativas incorretas e escolhe aleatoriamente entre as três alternativas restantes. Para passar, é necessário acertar 12 itens ou mais.

a) Qual a probabilidade do estudante passar?
b) Se o estudante pudesse eliminar duas alternativas incorretas, qual seria a probabilidade dele passar?

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1 Resposta

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respondida Mar 22 por Pedro Silva (1 ponto)  
editado Mar 22 por Pedro Silva

A resposta a cada questão pode ser entendida como uma variável aleatória que tem distribuição de Bernoulli, com probabilidade \(p = 1/3\) de acertar e probabilidade \((1-p) = 2/3\) de errar, já que o aluno escolhe aleatoriamente entre três alternativas. Como o teste consiste em 20 questões iguais que têm mesma distribuição de probabilidade, podemos definir a variável aleatória de distribuição binomial \(X\) que representa quantas questões do teste um aluno acertou.

A função de probabilidade da variável aleatória com distribuição binomial tem a seguinte forma:

\[P(X = k)=\binom{n}{k}.p^k.(1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.p^k.(1-p)^{n-k}\]

em que \(k\) é a quantidade de resultados iguais a 1 (acertos), \(n\) é a quantidade de repetições do experimento de Bernoulli (questão de múltipla escolha), e \(p\) é a probabilidade de acerto.

Como são necessários pelo menos 12 acertos para passar no teste, a probabilidade de passar será:

\[P(X \geq 12) = P(X = 12) + P(X = 13) + \ldots + P(X = 20) \approx 0.012973 \]

Portanto, o aluno tem \(1.2973\%\) de chance de passar. Para o item "b" da questão, basta fazer os mesmos cálculos considerando \(p = 1/2\) já que o aluno escolherá aleatoriamente entre duas alternativas. Nesse cenário, o aluno tem \(25.1722\%\) de chances de passar.

Calculando o resultado com Python
Apesar da resolução da questão ser simples, fazer o cálculo da probabilidade à mão é trabalhoso. O código em Python a seguir resolve esse problema. Para tanto utilizamos a biblioteca SciPy que possui uma função que calcula probabilidades para distribuição binomial.

 # carregar a biblioteca SciPy
from scipy.stats import binom

# quantidade de questões na prova 
num_questions = 20
# quantidade de questões corretas necessárias para passar
num_corrects = 12
# probabilidade de acertar uma questão
p = 1/2
# probabilidade de passar
P_pass = 0
# lista com zeros
P = [0]*21
# contador para preencher a lista com as probabilidades
c = 0

for i in range (12, num_questions + 1):
    P[c] = binom.pmf(i, num_questions, p)
    P_pass = P_pass + P[c]
    c = c + 1

print("A probabilidade do estudante passar é de", str(round(P_pass * 100, 4)), "%")
comentou Abr 1 por gustavobrangel (6 pontos)  
editado Abr 4 por gustavobrangel
[tentativa de apagar comentário]
comentou Abr 4 por gustavobrangel (6 pontos)  
editado Abr 5 por gustavobrangel

Boa, Pedro, tá certinho.

Em Python, muitas vezes é possível substituir o for-loop por list comprehension, o que traz um belo ganho de eficiência. Além disso, depois que você se acostuma com esse tipo de estrutura, o código fica bem mais legível. No seu caso, é possível substituir o for da seguinte forma:

P = [binom.pmf(i, num_questions, p) for i in range(num_corrects, num_questions + 1)]
print(f'A probabilidade do estudante passar é de {sum(P) * 100:0.4f}%')
comentou Abr 14 por Pedro Silva (1 ponto)  
Muito obrigado pela dica! Estou iniciando no python e esse tipo de comentário com certeza é de grande ajuda. Valeu, Gustavo.
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