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Cálculo probabilístico e das densidades marginais e condicionais para as funções \[f(x,y) = \frac{6}{7}(x+y)^2, \] \[0\leq x \leq1, 0\leq y \leq1\]

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perguntada Mar 22 em Estatística por Bernardo Mendes (21 pontos)  
editado Mai 24 por Bernardo Mendes

Cap.3 -Exercício 8 - John Rice:

Sejam X e Y distribuídos conjuntamente da seguinte forma:

\[f(x,y) = \frac{6}{7}(x+y)^2, \]
\[0\leq x \leq1, 0\leq y \leq1\]

a)Integrando nas regiões apropriadas, encontre: \(i) P( X > Y), ii) P(X+Y \leq 1), iii) P(X\leq \frac{1}{2})\).

b)Encontre as densidades marginais de \(X\) e \(Y\).

c)Encontre as duas densidades condicionais.

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1 Resposta

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respondida Mar 23 por Bernardo Mendes (21 pontos)  
editado Mar 23 por Bernardo Mendes

Partindo da densidade conjunta: \( f(x,y) = \frac{6}{7}(x+y)^2, 0\leq x,y \leq 1\) precisamos definir o intervalo de integração para cada um dos casos (i, ii, iii).

i) \( [(x,y)| 0\leq y\leq x \leq 1]\) uma vez que \(x\) pode variar livremente no seu domínio e \(y\) deve sempre apresentar valor menor que \(x\). (Note que a igualdade pode ser incluída no intervalo pois estamos lidando com uma distribuição contínua. Logo um ponto qualquer possui probabilidade nula).

ii)\([(x,y)| 0 \leq x \leq 1, 0\leq y \leq 1-x]\) aqui vale notar que a estratégia foi deixar \( x\) variar livremente e condicionar \( y \) aos valores que \(x\) assume, limitando o intervalo de acordo com a soma contínua que desejamos, isto é: \(P(X+Y \leq 1)\).

iii)\([(x,y)| 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, 0 \leq y \leq 1]\) queremos avaliar probabilidades apenas em \(x\). Para obter a contabilidade total dos casos em que isso ocorre, somamos de forma contínua todas as probabilidades que \(y\) pode assumir em seu domínio, limitando \(x\) no intervalo que desejamos avaliar.

Agora devemos realizar as integrais nos intervalos definidos acima:

i) \[ P(X> Y) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \frac{6}{7}(x+y)^2 \,dy dx \]
\[=\frac{6}{7} \int_{0}^{1}\frac{(x+y)^3}{3}\Big|_0^xdx\]
\[=\frac{2}{7} \int_{0}^{1}(8x^3 - x^3)dx =\int_{0}^{1} 2x^3 dx\]
\[= \frac{x^4}{2}\Big|_0^1 = \frac{1}{2}\]

ii)\[P(X + Y < 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \frac{6}{7}(x+y)^2 \,dy dx\]
\[= \frac{6}{7} \int_{0}^{1}\frac{(x+y)^3}{3}\Big|_0^{1-x}dx\]
\[= \frac{6}{7} \int_{0}^{1}\frac{(1-x)^3}{3} dx = \frac{2}{7} * \Big[ x - \frac{x^4}{4}\Big] \Big|_0^{1} = \frac{3}{14}\]

iii)\[P(X \leq \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{1} \frac{6}{7}(x+y)^2 \,dy dx\]
\[= \frac{2}{7} \int_{0}^{\frac{1}{2}}(x+y)^3 \Big |_{0}^{1}dx = \frac{2}{7}\int_{0}^{\frac{1}{2}}[(x+1)^3 - x^3] dx\]
\[\frac{2}{7} \Big [ \frac{(x+1)^4}{4} - \frac{x^4}{4} \Big] \Big | _{0}^{\frac{1}{2}}\]
\[= \frac{1}{14} \Big[ \frac{81}{16} - \frac{1}{16} - 1\Big] = \frac{4}{14}\]

b) Para encontrar as densidades marginais é necessãrio notar que a função distribuição acumulada marginal de \(X\), ou \(F_X\) \(F_X(x) = P(X \leq x) = \lim_{y\to\infty} F(x,y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{\infty} f(u,y) dy du \). Segue disso que a densidade marginal de \(X\) é, pelo TFC (Teorema Fundamental do Cálculo): \(f_X(x) = F'_X(x)= \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\)

No nosso caso não somaremos continuamente de \(-\infty\) até \(\infty\), pois \(Y\) está definida em \([0,1]\), portanto somaremos apenas nesse intervalo. Então:
\[\frac{6}{7} \int_{0}^{1}(x+y)^2 dy = \frac{2}{7}(x+y)^3\Big|_{0}^{1}\]
\[= \frac{2}{7}[(x+1)^3 - x^3] = \frac{2}{7}[x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3]\]
\[ = f_X(x) =\frac{2}{7}[3x^2 + 3x +1], 0 \leq x \leq 1 \]

Note que nossa função inicial \( f(x,y) = \frac{6}{7}(x+y)^2, 0 \leq x \leq 1, 0\leq y \leq1 \) é perfeitamente simétrica em torno do par \((x,y)\). Logo, como propriedade da simetria da função, podemos definir a distribuição marginal de \(Y\) como:
\[ f_Y(y) =\frac{2}{7}[3y^2 + 3y +1], 0 \leq y \leq 1 \]

c) Para encontrar as densidades condicionais, aplicamos primeiramente o teorema de Bayes e posteriomente a propriedade de simetria.
Aplicando o teorema de Bayes:
\[f_{X|Y} = \frac{f_{XY}}{f_Y}\]
\[f_{X|Y}(x|y) = \frac{\frac{6}{7}(x+y)^2}{\frac{2}{7}[3y^2+y+1]}\]
\[f_{X|Y}(x|y) = 3 \frac{(x+y)^2}{3y^2 + 3y + 1}, 0 \leq x \leq 1, 0\leq y \leq1\]

Aplicando a simetria:
\[f_{Y|X}(y|x) = 3 \frac{(x+y)^2}{3x^2 + 3x + 1}, 0 \leq x \leq 1, 0\leq y \leq1\]

comentou Abr 26 por Ricardo Nunes (21 pontos)  

Parabéns pela resposta, chequei as contas e bateram com as minhas.

Resolvi plotar o gráfico da função densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y, utilizando o pacote Matplotlib do Python:

from mpl_toolkits import mplot3d
%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Vamos definir a função densidade de probabilidade e as variáveis aleatórias:

def f(x,y):
    return 6/7 *(x+y)**2

x = np.linspace(0,1,1000)
y = np.linspace(0,1,1000)

X, Y = np.meshgrid(x,y)
Z = f(X, Y)

E agora fazer o Plot 3D:

fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.contour3D(X, Y, Z, 100, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('f(x,y)')

A imagem será apresentada aqui.

Como esperado, a função densidade é crescente em x e y.

comentou Mai 23 por danielcajueiro (5,501 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão.
comentou Mai 24 por Bernardo Mendes (21 pontos)  
Agradeço pelo feedback professor. Sugestão aplicada.
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