Capítulo 3 - Exercício 13 do Livro Mathematical Statistics and Data Analysis - John Rice

Question

Uma moeda justa é jogada uma vez, se ela der cara, é jogada uma segunda vez. Encontre a função frequência do número total de caras.

Answer 1

Podemos definir o espaço amostral do experimento:
\[\Omega = (t, ht, hh),\] onde h = cara, t = coroa.

Vamos denotar por X o número de caras(h) no primeiro lançamento e de Y o número total de caras.
Podemos determinar a função de probabilidade conjunta como:
\[p(x_i,y_j) = P(X = x_i, Y = y_j)\]
A fórmula para calcular a função marginal de frequência de Y é dada por:
\[p_y(y) = \sum_i p(y,x_i),\]

Para o nosso problema \(x_i\) assume dois valores discretos: \(0,1\). (Ou o primeiro lançamento é coroa, \(x = 0\), ou cara, \(x = 1\))

Como o número total de caras(h) possíveis é 2, podemos calcular a função frequência de \(Y = 2\) e isso será dado por:
\[p_y(2) = P(Y = 2) = P(X = 1, Y = 2) + P(X = 0, Y = 2)\]
As probabilidades são:
\[ P(X = 1, Y = 2) = \frac{1}{2}*\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]
\[P(X = 0, Y = 2) = \frac{1}{2}*0 = 0\]
Logo, a função frequência do número total de caras é:
\[ p_y(2) = P(X = 1, Y = 2) + P(X = 0, Y = 2) = \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{4}\]

Comments

Ótima solução, Ricardo. Uma alternativa ao seu desenvolvimento é a construção da tabela de frequências e realizar a análise da função frequência da variável \(Y\) a partir da tabela.

X|Y   |   0   |   1   |    2   |
0         1/2      0        0
-
1           0       1/4    1/4

Note que basta fixar \(Y = 2\) e somar os casos respectivos aos dois \(X\) possíveis, isto é \(X=0, X= 1\). Resultando em \(\frac{1}{4}\) como verificado pelo Ricardo.