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Para cada função \(T:R^3→ R^3\), verifique se T é uma transformação linear e então cheque se \(N(T)\) e \(IM(T)\) são soma direta.

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perguntada Mar 23 em Matemática por Alan Antunes Rosendo (1 ponto)  
editado Mar 24 por Alan Antunes Rosendo

Para cada função \(T:R^3→ R^3\), verifique se T é uma transformação linear e então cheque se \(N(T)\) e \(IM(T)\) são soma direta.
a) \(T(x,y,z)=(x-2y+z,x-z,x-2y+z)\)
b) \(T(x,y,z)=(3(x+y+z),0,x+y+z)\)

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1 Resposta

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respondida Mar 24 por Alan Antunes Rosendo (1 ponto)  
editado Mar 24 por Alan Antunes Rosendo

Para verificar se \(T\) é uma transformação linear, devemos testar a seguinte propriedade:
Para qualquer \(A,B∈R^3\) e \(α∈R\):
\(T(A+αB)=T(A)+αT(B)\)
Para verificar se \(N(T)+IM(T)\) é soma direta, devemos testar a seguinte propriedade:
\(N(T)∩IM(T)=\){0}
Resolvendo os itens separadamente:
a) Suponha \(A=(x_1,y_1,z_1)∈R^3\), \(B=(x_2,y_2,z_2)∈R^3\), \(α∈R\)
Calculando os termos separadamente, temos:
\(T(A)=T(x_1,y_1,z_1)=(x_1-2y_1+z_1, x_1-z_1,x_1-2y_1+z_1)\)
\(αT(B)=αT(x_2,y_2,z_2)=α(x_2-2y_2+z_2,x_2-z_2,x_2-2y_2+z_2)\)
\(T(A+αB)=T(x_1+αx_2,y_1+αy_2,z_1+αz_2)=\)
\(=(x_1+αx_2-2y_1-2αy_2+z_1+αz_2,x_1+αx_2-z_1-αz_2, x_1\)
\(+αx_2-2y_1-2αy_2+z_1+αz_2)\)
\(=(x_1-2y_1+z_1,x_1-z_1, x_1-2y_1+z_1)+\)
\(+(αx_2-2αy_2+αz_2, αx_2-αz_2,αx_2-2αy_2+αz_2)\)
\(=T(A)+α(x_2-2y_2+z_2, x_2-z_2,x_2-2y_2+z_2)=T(A)+αT(B)\)
Portanto, a função é uma transformação linear.

Verificando se é soma direta, temos:

\(N(T) = \{ (x,y,z) :T(x,y,z)=(0,0,0)\}\)
Daí temos a seguinte equação::
\(T(x,y,z)=(x-2y+z,x-z,x-2y+z)=(0,0,0)\)
Com isso, montamos o sistema:
\(x-2y+z=0\)
\(x-z=0\)
Resolvendo o sistema, temos:
\(x-z=0\Rightarrow x=z\)
\(x-2y+z=0\Rightarrow x-2y+x=0\Rightarrow 2x=2y\Rightarrow x=y\)
Logo o núcleo será:
\(N(T) = \{ (x,y,z) :(x,x,x)\}\)
Verificando se o vetor (1,1,1) pertence a imagem de T, temos:
\(T(x,y,z)=(x-2y+z,x-z,x-2y+z)=(1,1,1)\)
Com isso, montamos o sistema:
\(x-2y+z=1\)
\(x-z=1\)
Encontrando uma solução para o sistema, podemos supor \(x=2\), daí temos:
\(x-z=1 \Rightarrow z=x-1 \Rightarrow z=2-1=1\)
\(x-2y+z=1\Rightarrow y=(x+z-1)/2=1\)
Logo o ponto \((2,1,1)\) é solução do sistema, então o ponto \((1,1,1)∈IM(T)\)
Com isso, concluímos que \((1,1,1)∈N(T)∩IM(T)\), logo \(N(T)∩IM(T)\neq \) \( \{(0,0,0) \}\)
Então \(N(T)+IM(T)\) não é soma direta.

b) Suponha \(A=(x_1,y_1,z_1)∈R^3\), \(B=(x_2,y_2,z_2)∈R^3\), \(α∈R\)
Calculando os termos separadamente, temos:
\(T(A)=T(x_1,y_1,z_1)=(3(x_1+y_1+z_1),0,x_1+y_1+z_1)\)
\(αT(B)=αT(x_2,y_2,z_2)=α(3(x_2+y_2+z_2),0,x_2+y_2+z_2)\)
\(T(A+αB)=T(x_1+αx_2,y_1+αy_2,z_1+αz_2)=\)
\((3(x_1+αx_2+y_1+αy_2+z_1+αz_2),0,x_1+αx_2+y_1+αy_2+z_1+αz_2)\)
\(=(3(x_1+y_1+z_1),0, x_1+y_1+z_1)+(3(αx_2+αy_2+αz_2),0,αx_2+αy_2+αz_2)\)
\(=T(A)+α(3(x_2+y_2+z_2), 0,x_2+y_2+z_2)=T(A)+αT(B)\)
Portanto, a função é uma transformação linear.

Verificando se é soma direta, temos:

\(N(T) = \{ (x,y,z) :T(x,y,z)=(0,0,0)\}\)
Daí temos a seguinte equação:
\(T(x,y,z)=(3(x+y+z),0,x+y+z)=(0,0,0)\)
Com isso, montamos o sistema:
\(3(x+y+z)=0\)
\(x+y+z=0\)
Resolvendo o sistema, temos:
\(x+y+z=0\Rightarrow z=-x-y\)

Logo o núcleo será:
\(N(T) = \{ (x,y,z) :(x,y,-x-y)\}\)

Já a imagem de T, será gerada pelo vetor da forma \((3,0,1)\), com isso temos:

\(N(T)∩IM(T) =\) \( \{(0,0,0) \}\)

Então \(N(T)+IM(T)\) é soma direta.

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