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Exercício 17- Capítulo 5 do livro Mathematical Statistics and Data Analysis - John A. Rice

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perguntada Mar 24 em Estatística por Maria Salete (41 pontos)  
editado Mar 24 por Maria Salete

Suponha que uma amostra aleatória tenha média \(\mu\) e variância \(\sigma^{2}=25\) . Seja
\(\bar{X}\) a média de \(n\) variáveis aleatórias independentes. Quão grande deve ser \(n\) para que \(P(|\bar{X}-\mu|<1)=0.95\)</p>

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1 Resposta

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respondida Mar 24 por Maria Salete (41 pontos)  
editado Mar 24 por Maria Salete

Foi nos dado que \(X_{1}; X_{2}; ...;X_{n}\) são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \(\mu\) e variãncia \(\sigma^{2}=25. \)

A média é definida como:

\[\bar{X}=\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} X_{i}\]
e precisamos achar \( n \in \mathbb{N}\) tal que \( P(|\bar{X}-\mu|<1)=0.95\). Para isso, vamos usar o Teorema Central do Limite. </p>

Lembrando que, pelo Teorema Central do Limite:
\[\frac{S-n \cdot \mu}{\sqrt{n \cdot \sigma^{2}}} \approx N(0,1), \]

onde \(S=\sum_{i=1}^{n} X_{i}\). Logo, \(\frac{S}{n}=\bar{X}\).

Dividindo o numerador e o denominador da expressão acima por \(\sqrt{n}\), temos que:
\[\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \cdot \sqrt{n} \stackrel{D}{\approx} N(0,1)\]
Portanto,
\[0.95=P(|\bar{X}-\mu|<1)=P(-1<\bar{X}-\mu<1)\] \[=P\left(-\frac{\sqrt{n}}{\sigma}<\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \cdot \sqrt{n}<\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\right)\approx \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\right)-\Phi\left(-\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\right)=\] \[=\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\right)-1+\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\right)=2 \cdot \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\right)-1\] Somando \(1\) nos dois lados e dividindo por \(2\), a expressão acima equivale à: \[\Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\right) \approx 0.975 \]Consultando a Tabela Normal, \(\frac{\sqrt{n}}{\sigma}=1.96\). Portanto, \[\sqrt{n}=1.96 \cdot \sigma \Longleftrightarrow n=1.96^{2} \cdot \sigma^{2}\] Como \(\sigma^{2}=25,\) \[n=1.96^{2} \cdot \sigma^{2}=25 \cdot 3.8416=96.04 \approx 96\] Para que \(P(|\bar{X}-\mu|<1)=0.95\), \(n\) deverá ser, aproximadamente, igual á \(96.\)</p>

comentou Mar 25 por Luiz Guilherme Hass (11 pontos)  
Resposta excelente, com todos os cálculos corretos.

Podemos acrescentar alguns comentários interessantes.

A Teoria do Limite Central afirma que a média amostral  \(\overline{X}\) segue uma distribuição normal com média \(μ\) e variância \(\frac{σ^2}{n}\), desde que a amostra seja suficientemente grande.

A ideia do teorema é a convergência em probabilidade, assim quanto maior o tamanho da amostra, mais próxima estará da distribuição normal. Com o teorema é possível fazer inferência estatística sem conhecer a distribuição exata de uma população.

Dada a variância \(\frac{σ^2}{n}\), o desvio padrão é \(\frac{σ}{\sqrt{n}}\).

Padronizando \(\overline{X}\), isto é, subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão, temos:

\(\frac{\overline{X}-μ}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}\)\(=\)\(\sqrt{n}\)\(\frac{\overline{(X}-μ)}{σ}\)

\(\sqrt{n}\)\(\frac{\overline{(X}-μ)}{σ}\) \({\longrightarrow}\)\(N(0,1)\)

Esta é a ideia para se chegar ao teorema central do limite, que foi exposto e aplicado no exercício proposto.

No exercício, o desafio é calcular qual o tamanho \(n\) da amostra necessário para que a probabilidade da distância entre a média amostral e a média populacional ser menor que 1 seja de 95%. A resposta correta é \(n = 96\), conforme calculado.

Em uma distribuição mais homogênea, com um desvio padrão pequeno, é necessária uma amostra menor em relação a uma distribuição com um desvio padrão elevado. O tamanho da amostra necessário está relacionado à garantia de que a amostra reflita bem a população de um experimento.

Este é um desafio muito comum em inferência estatística, quando é necessário garantir que uma amostra seja suficientemente grande para a inferência ter propriedades interessantes.
comentou Mar 29 por Maria Salete (41 pontos)  
Muito obrigada pelas contribuições, Luiz.
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