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Suponha que você aposte $ 5 em cada uma de uma sequência de 50 jogos justos independentes. Use o teorema do limite central para calcular a probabilidade de você perder mais do que $ 75.

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perguntada Mar 25 em Estatística por Luiz Guilherme Hass (11 pontos)  

Exercício nº 15 do Capítulo 5 do Livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice.

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1 Resposta

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respondida Mar 25 por Luiz Guilherme Hass (11 pontos)  

A distribuição X apontada no enunciado é uma distribuição discreta binomial e seus parâmetros são \(p\) (ganhar a aposta) e \(q = 1 - p\) (perder a aposta).

Como apontando no enunciado, os jogos são justos independentes, portanto, o resultado de uma aposta não interfere nas outras apostas.

Valor de uma aposta = $\(5\)

Nº de jogos justos independentes \(n\)= \(50\)

Probabilidade \(p\) de perder a aposta \(= 50\)% ; \(p = 0,5\)

Probabilidade \(q\) de perder a aposta \(= 50\)% ; \(1 - p = q = 0,5\)

O valor esperado \(E[X] = μ = n*p\) será:

\(μ= 50*0,5 = 25\)

O desvio-padrão \(σ\) será calculado por:

\(σ\)= \(\sqrt{n*p*q}\)

\(σ \)= \(\sqrt{50*0,5*0,5} = 3,536\)

O Teorema do Limite Central afirma que quando o tamanho de uma amostra aumenta, a distribuição amostral de sua média aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal.

Portanto, para a solução, pensaremos a partir de uma distribuição normal.

Para perder mais de $\(75\), é necessário que se perca \(33\) das \(50\) apostas. Dado que são eventos complementares, o número de apostas ganhas será \(17\).

-> Resultado quando se perde \(33\) e se ganha \(17\):

= \(33 * (-5) + 17 * (+5) = - 165 + 85 = - 80 < -75\)

Portanto, usaremos \(x = 33\).

Assim, precisamos padronizar a variável calculando o \(z\):

O cálculo do \(z\) é feito por: \(z = \frac{x - μ}{σ}\)

Assim, \(z = \frac{33 - 25}{3,536}\)

Portanto, \(z\) = \(2,26\)

De acordo com a tabela normal, a probabilidade associada a \(z\) = \(2,26\) é \(0,0119\) ou \(1,19\)%.

Concluindo,

a probabilidade de perder mais de $\(75\) nesta aposta é \(1,19\)%.

comentou Abr 5 por Thiago Lappicy (6 pontos)  
A resposta de Luiz descreveu bem como resolver a questão citada. Apenas alguns aspectos podem ser descritos com mais detalhes.

Por exemplo, é dito na resposta de Luiz que para perder mais de $75 é necessário que se perca 33 das 50 apostas. Apesar de ser um cálculo bem trivial de ser feito, é sempre importante deixar as respostas o mais completas o possível para fácil entendimento de todos e para que ela seja realmente autocontida.

Esse cálculo pode ser facilmente feito pela tentativa e erro, fazendo a conta para se ganhar apenas 1 aposta, em seguida 2 apostas... e assim por diante. Porém, esse processo é demorado. Uma maneira rápida de descobrir esse valor é fazendo um sistema no qual:

X = número de vezes que se ganhou a aposta
Y = número de vezes que se perdeu a aposta

portanto, para descobrirmos os valores de X e Y basta resolver as equações

X + Y = 50   (número total de apostas feitas)
5*X - 5*Y < -75   (ganhos - perdas devem ser menor do que $75)

Com isso temos que X < 17.5

Como não se pode ganhar ou perder um número "quebrado" (deve ser inteiro), no problema é preciso ganhar no máximo 17 vezes e perder, pelo menos, 33 vezes (valores obtidos pelo Luiz na resposta acima).


Um outro comentário importante a ser feito, mas não significa que a resposta está errada de maneira alguma, é com relação a quantas casas decimais utilizar para o problema. Por exemplo, na resposta de Luiz, é calculado o desvio padrão e esse é dado por "3.536". Esse valor está correto utilizando 3 casas decimais, mas quantas realmente deveríamos utilizar? É um problema maior a se pensar do ponto de vista teórico. Na prática, podemos apenas utilizar a variância (não tira a raiz), assim a variância de X dada por:

Var[X] = 12.5

E quando for fazer as últimas contas, utilizar a raiz da variância e apenas arredondar na última conta. Isso é facilmente feito com linguagens de programação, em que é possível rodar o comando para cálculo da probabilidade associada a um "Z = uma equação".

Pode parecer algo que não faz muita diferença, mas a variável normal unitária "Z" pode variar (com 2 casas decimais) de 2.29 até 2.26 utilizando 1 ou todas as casas decimais nos valores anteriores. Representando então uma probabilidade associada que varia entre 1.10% até 1.19%. Isso equivale a uma variação de aproximadamente 8% sobre o valor correto.

Novamente, essa diferença pode ser significativa ou não para um problema a depender de seu contexto e uso. Claramente para essa questão do livro, o arredondamento não trouxe diferenças significativas para o problema, tendo em vista que o objetivo é utilizar corretamente as propriedades de uma distribuição binomial. Mas é sempre bom lembrar que esse nem sempre será o caso.


Em uma última nota, o valor da probabilidade associada a um "Z" qualquer pode ser facilmente obtida na maioria dos livros estatísticos na tabela da distribuição normal padrão. Também é usual algumas linguagens já terem esses valores internamente. No R, é possível obter a probabilidade associada a um "Z" utilizando a função:

1 - pnorm(Z)

Ela nos retorna os seguintes valores:

1 - pnorm(2.26) = 0.0119
1 - pnorm(2.29) = 0.0110
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