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Questão 2, Problemas do Capítulo 2 do Livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice (3ª Edição)

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perguntada Mar 25 em Dados e Bases de Dados por Matheus Cintrão (1 ponto)  

Um experimento consiste em lançar uma moeda não-viciada quatro vezes. Encontre a função de densidade e a função de densidade acumulada para as seguintes variáveis aleatórias:

a) O número de caras antes da primeira coroa.
b) O número de caras depois da primeira coroa.
c) O número de caras menos o número de coroas.
d) O número de caras vezes o número de coroas.

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1 Resposta

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respondida Mar 25 por Matheus Cintrão (1 ponto)  
editado Mar 31 por Matheus Cintrão

Para fins de notação, representarei nesta resposta Cara como H (Head) e Coroa como T (Tail) visto que ambas começam com a mesma letra oque causaria uma perda estética nas fórmulas.
Como o número de lançamentos é relativamente pequeno, ao final do exercício será apresentada uma tabela com a resolução do exercício em "força bruta" para verificar o que apresentado e auxiliar na intuição. Para que haja coerência nas frações apresentadas em relação à tabela e para facilitar as somas entre frações as respostas serão apresentadas com denominador 16.

a) Número de caras antes da primeira coroa.
Observe que só existem dois resultados possíveis, H e T. logo, ao encontrar a primeira ocorrência de T temos a certeza de que todas as ocorrências anteriores foram H. Ademais, a não ocorrência de T implica que todos os quatro resultados foram H.

Sendo que temos apenas 4 lançamentos note que o número de H's pode varias de 0 a 4.
Seja X = número de H's antes do primeiro T e Y = primeira ocorrência de T. Note que T possui uma distribuição geométrica, mas com a ressalva da possibilidade de T = 0, que implica X = 4, ou seja, a possibilidade de todos os 4 lançamentos resultarem em H.
Função de densidade:

\(P(X = k) = P(Y = k +1) = (\frac{1}{2})^{k + 1}\), se \( X \leq 3\)
\(P(X = k) = P(Y = 0) = (\frac{1}{2})^{k }\), se \( X = 4\)

\(P(X=0) = P(Y =1) = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2} = \frac{8}{16} \) , ou seja, a probabilidade de o primeiro lançamento ser T (Coroa)

\(P(X=1) = P(Y =2) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = \frac{4}{16} \) , probabilidade de HT (primeiro lançamento H e segundo, T)

\(P(X=2) = P(Y =3) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = \frac{2}{16} \) , probabilidade de HHT.

\(P(X=3) = P(Y =4) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} \) , probabilidade de HHHT.

\(P(X=4) = P(Y =0) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}\) , probabilidade de HHHH.

A imagem será apresentada aqui.

Função de densidade acumulada:

\(P(X \leq 0) = P(X = 0) = \frac{8}{16} \)

\(P(X \leq 1) = P(X\leq 0) +P(X = 1) = \frac{8}{16} + \frac{4}{16} = \frac{12}{16} \)

\(P(X \leq 2) = P(X\leq 1) +P(X = 2) = \frac{12}{16} + \frac{2}{16} = \frac{14}{16} \)

\(P(X \leq 3) = P(X\leq 2) +P(X = 3) = \frac{14}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \)

\(P(X \leq 4) = P(X\leq 3) +P(X = 4) = \frac{15}{16} + \frac{1}{16} = \frac{16}{16} \)

A imagem será apresentada aqui.

b) Número de caras depois da primeira coroa:

Aqui teremos duas distribuições para serem avaliadas. A posição do 1º T que seguirá uma distribuição geométrica, e a quantidade de H's depois dele que seguirá uma distriuição binomial.
Seja Y = primeira ocorrência de T e X a quantidade de H's após o primeiro T

Como T segue uma distribuição binomial temos que \(P(Y=m) = (\frac{1}{2})^m\), logo podemos montar a função densidade conjunta de X e Y

\[P( X = k | Y = m) = (\frac{1}{2})^m {{4-m} \choose k} (\frac{1}{2})^{4-m} = {{4-m} \choose k}(\frac{1}{2})^{4} \]
Tal que \( k+m \leq 4, k \leq3\)

Agora basta somar as probabilidades para cada possível valor de Y para obter a função e densidade de X

Função densidade:

\(P(X = 0) = P( X= 0 | Y = 0) + P( X= 0 | Y = 1) + P( X= 0 | Y = 2)\)
\( + P( X= 0 | Y = 3) + P( X= 0 | Y = 4)\)
\(= \frac{1}{16} +\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{16} + \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} +\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{16} = 5 \cdot \frac{1}{16} = \frac{5}{16}\)

\(P(X = 1) = P( X= 1 | Y = 1) + P( X= 1 | Y = 2) + P( X=1 | Y = 3)\)
\( = \frac{1}{2}\cdot\frac{6}{16} +\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} +\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{8} = \frac{3}{16} + \frac{2}{16} +\frac{1}{16} = \frac{6}{16}\)

\(P(X = 2) = P( X= 2 | Y = 1) + P( X= 2 | Y = 2)\)
\(= \frac{1}{2}\cdot\frac{6}{16} +\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{3}{16} +\frac{1}{16} = \frac{4}{16}\)

\(P(X = 3) = P( X= 3 | Y = 1) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{16} = \frac{1}{16}\)

A imagem será apresentada aqui.

Densidade acumulada:

\(P(X \leq 0) = P( X = 0) = \frac{5}{16}\)

\(P(X \leq 1) = (P(X \leq 0) + P(X = 1) =\frac{5}{16}+ \frac{6}{16}= \frac{11}{16}\)

\(P(X \leq 2) = (P(X \leq 1) + P(X = 2) =\frac{11}{16}+ \frac{4}{16} = \frac{15}{16}\)

\(P(X \leq 3) = (P(X \leq 2) + P(X = 3) =\frac{15}{16}+ \frac{1}{16} = \frac{16}{16}\)

A imagem será apresentada aqui.

c) Número de caras menos o número de coroas:
Novamente, como temos que necessariamente os resultados devem ser H ou T se tomarmos H como o número de caras, teremos que o número de coroass é \( T = 4 - H\). Logo, seja X o número de carass menos o número de coroass, temos \( X = 2 \cdot H - 4\).

Como os possíveis valores de H são \( 0\), \( 1\), \(2\), \(3\) e \(4\) os possíveis valores de nossa variável aleatória X são \( -4\), \( -2\), \(0\), \(2\) e \(4\).

Note que H ( o número de caras) é simplesmente uma binomial.

Função densidade:

\[ P(X = k) = P(H = \frac{k}{2} +2) = {4 \choose k}(\frac{1}{2})^k(\frac{1}{2})^{4-k} = {4 \choose k}(\frac{1}{2})^4 \]

\(\)

\( P(X= -4) = P(H = 0) = (\frac{4!}{(4-0)! - 0!})(\frac{1}{16}) = \frac{1}{16} \)

\( P(X= -2) = P(H = 1) = (\frac{4!}{(4-1)! - 1!})(\frac{1}{16}) = \frac{4}{16} \)

\( P(X= 0) = P(H = 2) = (\frac{4!}{(4-2)! - 2!})(\frac{1}{16}) = \frac{6}{16} \)

\( P(X= 2) = P(H = 3) = (\frac{4!}{(4-3)! - 3!})(\frac{1}{16}) = \frac{4}{16} \)

\( P(X=4) = P(H = 4) = (\frac{4!}{(4-4)! - 4!})(\frac{1}{16}) = \frac{1}{16} \)

Note que X = 4 não é possível.

A imagem será apresentada aqui.

Função densidade acumulada:

\( P(X \leq -4) = P(X = -4) = \frac{1}{16} \)

\( P(X\leq -2) =( P(X \leq -4) + P(X = -2) = \frac{1}{16} + \frac{4}{16}= \frac{5}{16} \)

\( P(X\leq -0) =( P(X \leq -2) + P(X = -0) = \frac{5}{16} + \frac{6}{16}= \frac{11}{16} \)

\( P(X\leq 2) =( P(X \leq 0) + P(X = 2) = \frac{11}{16} + \frac{4}{16}= \frac{15}{16} \)

\( P(X\leq 4) =( P(X \leq 2) + P(X =4) = \frac{15}{16} + \frac{1}{16}= \frac{16}{16} \)

A imagem será apresentada aqui.

d)Número de caras vezes o número de coroas.

Seja \( X = H \cdot T\), como sabemos que \( T= 4 - H \), \( X = H( 4- H) = 4H - H^2\).

Se \(H \in \lbrace 0; 1;\, 2;\, 3;\, 4 \rbrace \), \(X \in \lbrace 0; 3;\, 4 \rbrace \)

Note que \(X = 3\) pode ser gerado tanto por \(H=1\) como por \(H=3\) : \[4\cdot 3 - 3^2 = 4\cdot 1 - 1^2 = 3\]
e que o mesmo ocorre com \(X=0\) para \(H=0\) e \(H=4\): \[4\cdot 4 - 4^2 = 4\cdot 0 - 0^2 = 0\]

Note também que, assim como no item anterior, H segue uma distribuição binomial.

Função de densidade:

\(P(X = 0) = P(H = 0) + P(H = 4) = {4 \choose 0}(\frac{1}{2})^4 + {4 \choose 4}(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}+\frac{1}{16} \)
\(= \frac{2}{16} \)

\(P(X = 1) = 0 \)

\(P(X = 2) = 0 \)

\(P(X = 3) = P(H = 1) + P(H = 3) = {4 \choose 1}(\frac{1}{2})^4 + {4 \choose 3}(\frac{1}{2})^4 = \frac{4}{16}+\frac{4}{16}\)
\( = \frac{8}{16} \)

\(P(X = 4) = P(H = 2) = {4 \choose 2}(\frac{1}{2})^4 = \frac{6}{16}\)

A imagem será apresentada aqui.

Função de densidade acumulada:

\( P(X \leq 0) = P(X = 0) = \frac{2}{16} \)

\( P(X \leq 1) = ( P(X \leq 0) + P(X = 1) = \frac{2}{16} \)

\( P(X \leq 2) = ( P(X \leq 1) + P(X = 2) = \frac{2}{16} \)

\( P(X \leq 3) = ( P(X \leq 2) + P(X = 3) = \frac{2}{16} + \frac{8}{16} = \frac{10}{16} \)

\( P(X \leq 4) = ( P(X \leq 3) + P(X = 4) = \frac{10}{16} + \frac{6}{16} = \frac{16}{16} \)

A imagem será apresentada aqui.

Tabela:
A imagem será apresentada aqui.

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