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Como resolver o Exercício 45 (Capítulo 2) do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice?

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perguntada Mar 29 em Matemática por Lucas Santos e Silva (61 pontos)  

Suponha que a vida útil de um componente eletrônico siga uma distribuição exponencial com \( \lambda=0,1 \).

a) Determine a probabilidade de que a vida útil deste componente seja menor do que 10.
b) Determine a probabilidade de que a vida útil deste componente esteja entre 5 e 15.
c) Determine \( t \) tal que a probabilidade da vida útil do componente ser maior do que \(t\) seja de \(0,01\).

Ref.: Capítulo 2 (Exercício 45) do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice.

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1 Resposta

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respondida Mar 29 por Lucas Santos e Silva (61 pontos)  
editado Mar 29 por Lucas Santos e Silva

Temos que uma distribuição exponencial com parâmetro \( \lambda > 0 \) possui função densidade de probabilidade dada por:

\[ f(x) = \Bigg\{ \begin{array}{@{}rl@{}} \lambda e^{-\lambda x} \quad \quad \quad se \,\, x\geq0 \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad se \,\, x<0 \\ \end{array} \]</p>

Ou seja, assim como ocorre com a distribuição de Poisson, a distribuição exponencial é definida por um único parâmetro ( \( \lambda > 0 \) ).

Notamos ainda que, quanto maior for o \( \lambda \), mais rápido será o decrescimento da densidade de probabilidade, conforme pode ser visto na figura abaixo:

A imagem será apresentada aqui.

Neste caso, podemos determinar a função de distribuição acumulada da seguinte maneira:

\[ F(x) = p (X \leq x) = \int_0^x f(x) dx = \int_0^x \lambda e^{-\lambda x} dx = 1 - e^{- \lambda x } \]

Portanto:

\[ F(x) = p (X \leq x) = \Bigg\{ \begin{array}{@{}rl@{}} 1 - e^{-\lambda x} \quad \quad \quad se \,\, x\geq0 \\ 0 \quad \quad \quad \, \quad \quad \quad se \,\, x<0 \end{array} \]</p>

Sendo que, considerando os valores de \( \lambda \) utilizados no primeiro gráfico, obtemos a seguinte representação para a função de distribuição acumulada:

A imagem será apresentada aqui.

Esclarecidos os pontos acima, podemos então prosseguir com a resolução do exercício.

\[ \]

Suponha que a vida útil de um componente eletrônico siga uma distribuição exponencial com \( \lambda = 0,1\).

Neste caso teremos a função densidade de probabilidade dada por:

\[ f(x) = \Bigg\{ \begin{array}{@{}rl@{}} 0,1 \times e^{-0,1x} \quad \quad \quad se \,\, x\geq0 \\ 0 \quad \, \, \, \quad \quad \quad \quad \quad \quad se \,\, x<0 \end{array} \]</p>

E a função de distribuição acumulada dada por:

\[ F(x) = p (X \leq x) = \Bigg\{ \begin{array}{@{}rl@{}} 1 - e^{-0,1x} \quad \quad \quad se \,\, x\geq0 \\ 0 \,\,\,\, \quad \quad \quad \quad \quad \quad se \,\, x<0 \end{array} \]</p>

Notamos ainda que, para o caso específico do problema aqui abordado, teremos as seguintes representações gráficas:

A imagem será apresentada aqui.
\( \, \, \, \, \, \quad \) Função densidade de probabilidade

A imagem será apresentada aqui.
\( \, \, \, \, \, \quad \) Função de distribuição acumulada

\[ \]

a) Determine a probabilidade de que a vida útil deste componente seja menor do que 10.

Este item consiste basicamente na aplicação direta da equação determinada acima para a função de distribuição acumulada.

Portanto, temos o seguinte:

\[ p(X < 10) = 1 - e^{-0,1\times10} \]

Logo:

\[ p(X < 10) = 1 - e^{-1} \simeq 0,63 \]

\[ \]

b) Determine a probabilidade de que a vida útil deste componente esteja entre 5 e 15.

Neste caso, podemos novamente aplicar a equação determinada anteriormente para a função de distribuição acumulada, no entanto, para tal notamos que:

\[ p(X \geq x) = 1 - p(X < x) \]

Logo, no caso da distribuição exponencial temos:

\[ p( X \geq x) = \Bigg\{ \begin{array}{@{}rl@{}} e^{- \lambda x} \quad \quad \quad se \,\, x\geq0 \\ 1 \,\, \quad \quad \quad \quad se \,\, x<0 \end{array} \]</p>

E para o caso específico do problema em questão:

\[ p( X \geq x) = \Bigg\{ \begin{array}{@{}rl@{}} e^{-0,1x} \quad \quad \quad se \,\, x\geq0 \\ 1 \,\,\,\,\, \quad \quad \quad \quad se \,\, x<0 \end{array} \]</p>

Desta forma, obtemos então:

\[ p(X \geq 5) = e^{-0,1 \times 5} = e^{-0,5} \]

\[ p(X \geq 15) = e^{-0,1 \times 15} = e^{-1,5} \]

E portanto:

\[ p(5 \leq X \leq 15) = e^{-0,5} - e^{-1,5} \simeq 0,38 \]

\[ \]

c) Determine \(t \) tal que a probabilidade da vida útil do componente ser maior do que \(t \) seja de 0,01.

Neste caso queremos determinar \( t \) tal que:

\[ p(X > t) = 0,01 \]

Dado que, conforme determinado no item anterior, tem-se:

\[ p(X>t) = e^{-0,1 t} \]

Precisamos basicamente resolver a seguinte equação:

\[ e^{-0,1 t} = 0,01 \]

Portanto:

\[ e^{-0,1 t} = 0,01 \]

\[ ln (e^{-0,1 t} ) = ln (0,01) \]

\[ -0,1t \times ln (e) = ln (0,01) \]

\[ -0,1t = -4,605 \]

\( \therefore \, t = 46,05 \)

...