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Exercício 10 - Cap5 do livro Mathematical Statistics and Data Analysis - John Rice

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perguntada Mar 29 em Estatística por Ricardo Nunes (11 pontos)  

Um dado de seis lados é jogado 100 vezes. Usando a aproximação normal, encontre a probabilidade da face mostrando 6 aparecer entre 15 e 20 vezes. Ache também, a probabilidade da soma dos valores das faces nas 100 jogadas ser menor que 300.

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1 Resposta

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respondida Mar 30 por Ricardo Nunes (11 pontos)  
editado Mar 30 por Ricardo Nunes

i) Seja X o número de vezes que o 6 aparece nas 100 jogadas. Logo, \(X \sim Binom(n = 100, p = \frac{1}{6}\)).
Podemos calcular então a \(E(X) = \mu\) e a \(\sigma^2\):
\[E(X) = np = 100\times \frac{1}{6}= 16,6667\]
\[Var(X) =np(1-p) = 100\times\frac{1}{6}(1-\frac{1}{6})= 13,8889 \]

Logo, \(\mu = 16,6667, \sigma=\sqrt{13,8889} =3,7267 \).

Vamos utilizar a aproximação normal para determinar a probabilidade de \(15\leq X \leq 20\).
Quando queremos aproximar uma distribuição binomial para uma normal, temos que utilizar um fator de correção de continuidade, por conta do fato da distribuição normal ser contínua e a binomial discreta.
( https://www.statisticshowto.com/what-is-the-continuity-correction-factor/)

Nosso problema será:
\[P(15\leq X \leq 20) = P(14,5 < X < 20,5) \]
\[\approx P(\frac{14,5 - \mu}{\sigma} < Z < \frac{20,5 - \mu}{\sigma})\]
Em que Z é o z-score, dado por \((\frac{X - \mu}{\sigma})\).
Subsituindo \(\mu\) e \(\sigma\):
\[P(-0,581 < Z < 1,028) = P(Z<1,028) - P(Z<-0,581)\]<br> \[=0,8461 - 0,28096 = 0,56514\]
A probabilidade do número seis aparecer entre 15 e 20 vezes em 100 jogadas é de aproximadamente 56,51%.

ii)
Seja \(X_n\) uma variavel aleatória independente e identitcamente distribuída, com distribuição uniforme:
\[P(X_n = x) = \frac{1}{6}, \text{ n = 1...100; x = 1,2,3,4,5,6.}\]
Agora considere uma outra variável aleatória \(Y = \sum X_n\) e \(S_{100} = \frac{Y}{100}\). Considerando n = 100 grande o suficiente, o Teorema Central do Limite diz que:
\[\sqrt{100}(S_{100} - \mu) \sim N(0,\sigma^2),\]
\(\mu, \sigma^2 \) a média e a variância de \(X_n\).

\[\sigma^2 = E(X^2) - \mu ^2\]
\[\mu = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) =\frac{21}{6} = 3,5\]
\[E(X^2) = \frac{1}{6}(1^2 +2^2 + 3^2 + 4^2+5^2+6^2) = \frac{91}{6}\]
Logo a variância é \(\sigma^2 = \frac{91}{6} - \frac{441}{36} =\frac{35}{12} \approx 2,916 \) e então: \(\sqrt{100}(S_{100} - 3,5) \sim N(0, 2,916) \), dividindo por 10 chegamos em:
\[S_{100} - 3,5 \sim N(0, \frac{2,916}{100}) \Leftrightarrow S_{100} \sim N(3,5, \frac{2,916}{100})\]
Note que pelas definições das variáveis temos que: \(P(Y < 300) = P(S_{100} <\frac{300}{100}) \), e logo podemosm calcular:<br> \[P(S_{100} <3)=P(\frac{S_{100} - 3,5}{\sqrt{0,02916}} < \frac{3 - 3,5}{\sqrt{0,02916}}) \]<br> Seja o Z-score, \(Z = \frac{S_{100} - 3,5}{\sqrt{0,02916}} \sim N(0,1)\) e :
\[P(S_{100} < 3) = P(Z < \frac{3 - 3,5}{\sqrt{0,02916}})\]
\[= P(Z < - 2,92) = 0,0018\]

Ou seja, a probabilidade de que a soma das faces de 100 jogadas do dado de seis lados seja menor que 300 é de aproximadamente 0,18%

comentou Abr 5 por Lucas Iantorno Klotz (11 pontos)  
editado Abr 5 por Lucas Iantorno Klotz

Oi, Ricardo, a resolução ficou bem intuitiva e organizada. Destaque para o uso do fator de correção de continuidade no item i) e para a equivalência que você utilizou no item ii) : \(P(Y<300) = P(S_{100}<\frac{300}{100})\), dado \(Y = \sum X_n\). </p>

Para fins complementares, realizei uma simulação Monte Carlo referente ao resultado do item i). Pela Lei dos Grandes Números sabemos que se simularmos um grande número de observações de uma variável \(x\), no nosso caso, as vezes que o lado 6 de um dado aparece em 100 jogadas, filtrarmos para o intervalo de 15 e 20 vezes, chegaremos numa probabilidade próxima da qual você encontrou.

import random
import numpy as np
num_throw = 100                                                                                
counter = 0 
no_sixes = []
  for i in range(10000): #repetir o processo 10000 vezes
   for s in range(num_throw):  
    s = random.randint(1, 6) #retornar aleatoriamente um valor entre 1 e 6
    if s == 6:
         counter += 1 #contar todas as vezes que o valor for 6 (lado do dado)
no_sixes.append(counter) #montar a lista com os 1000 elementos
counter = 0 #zerar a contagem e começar novamente
print(no_sixes)

Aqui criamos a lista das 10000 simulações do dado sendo jogado 100 vezes. Em seguida contaremos quantas vezes o lado 6 apareceu entre 15 e 20 vezes.

def count_range(list, min, max):
cnt = 0 #contagem zerada
 for j in list:
    if min <= j <= max:#para um elemento da lista entre um máximo e mínimo
        cnt += 1 #contar se estiver nesse intervalo
  return cnt
print(count_range(no_sixes, 15,20)) #j está entre 15 e 20
#5630
prob = count_range(no_sixes, 15,20)/10000
print(prob) #0.563

Repare que a probabilidade no caso da simulação ficou muito próxima do que foi encontrado no exercício.

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