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Exercício 10 da Seção 4.2.1 do livro "Essential Linear Algebra with Applications" de Titu Andreescu

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perguntada Mar 29 em Matemática por Matheus Cintrão (1 ponto)  

Seja \(V\) o espaço de todas as transformações de \(\Re\) em \(\Re\) e seja \(W\) um subespaço de \(V\) que é composto das transformações \(f\) tais que \(f(0) + f(1) = 0\).

a) Verifique que \(W\) é um subespaço de \(V\).
b) Encontre um subespaço \(S\subset V\) tal que \(V = W \oplus S\).

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1 Resposta

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respondida Mar 29 por Matheus Cintrão (1 ponto)  
editado Mar 30 por Matheus Cintrão

Obs: Eventualmente será utilizado \(O\) para representar a Origem de um espaço vetorial quando o uso do \(0\) for esteticamente desagradável ou puder causar confusão.

a) Verifique que \(W\) é um subespaço de \(V\)

i) \(O \in W\)

Seja \(O:\Re\rightarrow \Re\), tal que \( O(x) = 0, \forall x \in \Re\).

\(O(0) + O(1) = 0 + 0 = 0\), logo \(O \in W\).
\(\)

ii) \(f,g\in W \rightarrow(f+g) \in W\)

\((f+g)(0) + (f+g)(1) = f(0) + g(0) + f(1) + g(1)\)
\( = f(0) + f(1) + g(0) + g(1) = 0 + 0 = 0\)
\(\)

iii) \(f\in W \rightarrow (\alpha f) \in W\)

\((\alpha f )(0) +(\alpha f )(1) = \alpha f (0) +\alpha f (1) = \alpha (f(0) + f(1)) = \alpha \cdot 0 = 0\)

Portanto, \( W \subset V \).


b) Encontre um subespaço \(S\) tal que \(V = W \oplus S\)

O subespaço pedido pode ser encontrado por tentativa e erro, mas um ulhar mais claro no que se espera deste espaço pode ajudar a orientar esta tentativa.

Para que \(V\) seja soma direta de \(W\) e \(S\) precisamos que \(S \subset W^c \cup \lbrace 0 \rbrace \) e que \(W \cap S = \lbrace 0 \rbrace\).

onde \(W^c = \lbrace g: \Re \rightarrow \Re : g(0) + g(1) \neq 0 \rbrace\)

Com base nisto podemos tentar propor \(S\) (note que a partir daqui o exercício foi resolvido por tentativa e erro):

Vamos supor \(S = \lbrace h :\Re \rightarrow \Re :h(x) = c, c \in \Re , \forall x \in \Re \rbrace \)

Este subespaço parece adequado, pois torna impossível que \(h(0) + h(1) = 0\) exceto se \(c = 0\), oque parece estar adequado à definição anteriormente proposta. Segue demostração:

\(S\) é subespaço:

i) \(O \in S\)

Seja \(O:\Re\rightarrow \Re\), tal que \( O(x) = 0, \forall x \in \Re\).

\(0 \in \Re\), logo, \(O \in S\)

\(\)

ii) \(h,j \in S \rightarrow (s+j) \in S\)

Seja \(h,j \in S\), temos que:
\(h :\Re \rightarrow \Re : h(x)= c_1, c_1 \in \Re, \forall x \in \Re\)
\(j :\Re \rightarrow \Re : j(x) = c_2, c_2 \in \Re \forall x \in \Re \)

\((h+j)(x) = h(x) + j(x) = c_1 + c_2 = c \in \Re\)

Logo, = \((h+j) \in \Re \)

\(\)

iii) \(h \in S \rightarrow \alpha h \in S\)

\((\alpha h)(x) = \alpha h(x) = \alpha c_1 = c \in \Re \)

\((\alpha h) \in S\)

\(\)

\(S\) e \(W\) são soma direta:

i)\(S \cap W = \lbrace 0 \rbrace\)

Seja \(h \in S \cap W\)

Como \(h \in S\), sabemos que \(h(0) = c\) e \(h(1) = c\)

Como \(h \in W\), sabemos que \(h(0) + h(1) = 0\)

Logo, \(c + c = 2c = 0 \rightarrow c=0\)

Portanto \(h \in S \cap W \rightarrow h(x) = 0, \forall x \in \Re \) ,
\(h(x) = O(x)\)
\(h \in S \cap W \rightarrow h = O\)
\(S \cap W = \lbrace 0 \rbrace\).

ii) \(V = W + S\)

Seja \(f \in V\)
Temos que \(f(0) + f(1) = c\), para algum \(c \in \Re\)
Logo, \(f(0) + f(1) - c = 0\)

Defina \(g = f(x) - \frac{c}{2}\)
Note que \(g \in W\) pois
\(g(0) + g(1) = f(0) - \frac{c}{2} + f(1) - \frac{c}{2} = f(0) + f(1) -c = 0\).

Defina \( h = \frac{c}{2} \)
Claramente \( h \in S\) pois \( \frac{c}{2} \in \Re\)

Por fim, note que \(h(x) + g(x) = f(x) - \frac{c}{2} + \frac{c}{2} = f(x)\)
Ou seja, para qualquer \(f \in V, \) Existem \( g \in W \) e \(h \in S\) tais que \(f = g + h \)

Logo \( V = S + W\), completando a prova.

comentou 1 dia atrás por João Pedro Heringer (11 pontos)  
Muito interessante essa resolução. Ao meu ver, há um erro de notação no item iii letra a e quando é demonstrado que \(S\) é um subespaço. Ao invés de:

\[(αf)(0)+(αf)(1)=αf(0)+αf(1)=α(f(0)+f(1))=α⋅0=0\]

E

\[(αh)(x)=αh(x)=αc_1=c∈R\]

Creio que o certo deveria ser:

\[(f)(\alpha 0)+(f)(\alpha 1)=αf(0)+αf(1)=α(f(0)+f(1))=α⋅0=0\]

E

\[h(\alpha x)=αh(x)=αc_1=c∈R\]

Além disso não vejo mais o que comentar.
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