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Determine o inverso da matriz \(A \in M_n(R) \)

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perguntada Mar 29 em Economia por João Isidio (26 pontos)  
editado Mai 25 por João Isidio

Determine o inverso da matriz

\[A = \left[\begin{array}{cccccc} n & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & n & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & n & \dots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & n & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & n \\ \end{array} \right] \in M_n(R) \]

Exercício 4 da Seção 3.4.1 do livro "Essential Linear Algebra with Applications" de Titu Andreescu

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1 Resposta

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respondida Abr 1 por João Isidio (26 pontos)  
editado Abr 1 por João Isidio

Por meio de escalonamento é possível resolver o conjunto de sistemas representado pela matriz aumentada \([A_n|I_n]\). A solução do problema é exatamente a matriz \(A^{-1}\).

\[[A|I] = \left[ \begin{array}{cccccc|cccccc} n & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & n & 1 & \dots & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & n & \dots & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & n & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & n & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \]

1°: Até a penúltima linha, deve-se subtrair, de cada linha, a linha subsequente.

\[\left[ \begin{array}{cccccc|cccccc} n-1 & 1-n & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & n-1 & 1-n & \dots & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n-1 & \dots & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & n-1 & 1-n & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & n & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \]

2°: Até a antepenúltima linha, deve-se somar cada linha com o conjunto das demais que a sucedem (exceto pela última linha).

\[\left[ \begin{array}{cccccc|cccccc} n-1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1-n & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & n-1 & 0 & \dots & 0 & 1-n & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & 0 & n-1 & \dots & 0 & 1-n & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & n-1 & 1-n & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & n & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \]

3°: Multiplica-se a última linha por (n-1).

\[\left[ \begin{array}{cccccc|cccccc} n-1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1-n & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & n-1 & 0 & \dots & 0 & 1-n & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & 0 & n-1 & \dots & 0 & 1-n & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & n-1 & 1-n & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \\ n-1 & n-1 & n-1 & \dots & n-1 & n(n-1) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & n-1 \\ \end{array} \right] \]

4°: Subtrai-se, da última linha, cada uma das demais.*

\[\left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} n-1 & 0 & \dots & 0 & 1-n & 1 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & n-1 & \dots & 0 & 1-n & 0 & 1 & \dots & 0 & -1 \\ \vdots &\vdots & \ddots&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & n-1 & 1-n & 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & (n-1)(2n-1) & -1 & -1 & \dots & -1 & 2(n-1) \\ \end{array} \right] \]

5°: Divide-se a última linha por (2n-1).

\[\left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} n-1 & 0 & \dots & 0 & 1-n & 1 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & n-1 & \dots & 0 & 1-n & 0 & 1 & \dots & 0 & -1 \\ \vdots &\vdots & \ddots&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & n-1 & 1-n & 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & n-1 &\frac{-1}{2n-1}&\frac{-1}{2n-1}& \dots &\frac{-1}{2n-1}& \frac{2(n-1)}{2n-1} \\ \end{array} \right] \]

6°: Soma-se cada linha à última.

\[\left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} n-1 & 0 & \dots & 0 & 0 & \frac{2(n-1)}{2n-1} & \frac{-1}{2n-1} & \dots & \frac{-1}{2n-1} & \frac{-1}{2n-1} \\ 0 & n-1 & \dots & 0 & 0 & \frac{-1}{2n-1} & \frac{2(n-1)}{2n-1} & \dots & \frac{-1}{2n-1} & \frac{-1}{2n-1} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots &\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & n-1 & 0 & \frac{-1}{2n-1} & \frac{-1}{2n-1} & \dots & \frac{2(n-1)}{2n-1} & \frac{-1}{2n-1} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & n-1 & \frac{-1}{2n-1} & \frac{-1}{2n-1} & \dots & \frac{-1}{2n-1} & \frac{2(n-1)}{2n-1} \\ \end{array} \right] \]

7°: Divide-se todas as linhas por n-1.
\[\left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & \frac{2}{2n-1} & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \dots & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \frac{2}{2n-1} & \dots & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots &\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \dots & \frac{2}{2n-1} & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \dots & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \frac{2}{2n-1} \\ \end{array} \right] \]

  • A dimensão foi reduzida para caber no espaço do editor de texto.
comentou Mai 4 por Vinícius Oliveira (11 pontos)  
editado Mai 4 por Vinícius Oliveira
Ótima solução, pois você escolheu um método adequado para resolver o exercício. Em particular, o João utilizou o tradicional método de Gauss - Jordan, por meio do qual resolve-se o problema de encontrar a inversa, quando esta existe, de uma matriz pela resolução de sistemas lineares. Em geral, para encontrar essa inversa, seria necessário resolver um número de sistemas igual a quantidade de colunas da matriz original. Contudo, o grande atrativo do método de Gauss Jordan é justamente resolver todos esses sistemas simultaneamente via escalonamento.

Em tese, uma solução alternativa seria calcular a inversa a partir da matriz adjunta. Isto é, dado \(A\) não singular, \(  A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} C^{T}\) , em que \(  C= Adj(A) = \)"matriz adjunta de A" e \( C^{T} \) é a transposta de \(C\). Essa matriz adjunta relaciona-se aos cofatores de \(A\), normalmente calculados para obtenção do determinante de matrizes. Esse método é razoavelmente eficiente para matrizes de ordem pequena, tais como as 2x2. Contudo, para matrizes de ordem elevada e genéricas, tal qual a deste exercício, o cálculo da matriz adjunta torna-se demasiado dispendioso. Portanto, o método de Gauss - Jordan, utilizado pelo João, é, de fato, uma solução mais interessante nesse caso.

Minha única sugestão para deixar a solução ainda mais compacta seria colocar o termo \( \dfrac{1}{2n - 1} \) em evidência na inversa de \(A\). Isto é:

\( A^{-1} = \left[
\begin{array}{ccccc}
\frac{2}{2n - 1}& \frac{-1}{(2n - 1)(n-1)} & \ldots & \frac{-1}{(2n - 1)(n-1)} & \frac{-1}{(2n - 1)(n-1)}  \\        
\frac{-1}{(2n - 1)(n-1)}& \frac{2}{2n - 1} & \ldots& \frac{-1}{(2n - 1)(n-1)} &  \frac{-1}{(2n - 1)(n-1)}\\
\vdots& \vdots  & \ddots & \vdots & \vdots\\
\frac{-1}{(2n - 1)(n-1)} & \frac{-1}{(2n - 1)(n-1)}  &\ldots & \frac{2}{2n - 1} & \frac{-1}{(2n - 1)(n-1)}\\
\frac{-1}{(2n - 1)(n-1)} & \frac{-1}{(2n - 1)(n-1)}  &\ldots &  \frac{-1}{(2n - 1)(n-1)} & \frac{2}{2n - 1}
\end{array}
\right] =
\dfrac{1}{2n - 1} B
\)

Em que \(B\) é igual a

\(  B= \left[
\begin{array}{ccccc}
    2& \frac{-1}{(n-1)} & \ldots & \frac{-1}{(n-1)} & \frac{-1}{(n-1)}  \\        
    \frac{-1}{(n-1)}& 2 & \ldots& \frac{-1}{(n-1)} &  \frac{-1}{(n-1)}\\
    \vdots& \vdots  & \ddots & \vdots & \vdots\\
    \frac{-1}{(n-1)} & \frac{-1}{(n-1)}  &\ldots & 2 & \frac{-1}{(n-1)}\\
    \frac{-1}{(n-1)} & \frac{-1}{(n-1)}  &\ldots &  \frac{-1}{(n-1)} & 2
\end{array}
\right]
\)
comentou Mai 24 por danielcajueiro (5,486 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão. A referencia para o livro pode vir na caixa de texto abaixo.
comentou Mai 25 por João Isidio (26 pontos)  
Feito! Creio que fiz a melhor adaptação possível para o caso.
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