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Exercício 4 da Seção 3.4.1 do livro "Essential Linear Algebra with Applications" de Titu Andreescu

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perguntada Mar 29 em Economia por João Isidio (1 ponto)  

Determine o inverso da matriz

\[A = \left[\begin{array}{cccccc} n & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & n & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & n & \dots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & n & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & n \\ \end{array} \right] \in M_n(R) \]

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1 Resposta

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respondida Abr 1 por João Isidio (1 ponto)  
editado Abr 1 por João Isidio

Por meio de escalonamento é possível resolver o conjunto de sistemas representado pela matriz aumentada \([A_n|I_n]\). A solução do problema é exatamente a matriz \(A^{-1}\).

\[[A|I] = \left[ \begin{array}{cccccc|cccccc} n & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & n & 1 & \dots & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & n & \dots & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & n & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & n & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \]

1°: Até a penúltima linha, deve-se subtrair, de cada linha, a linha subsequente.

\[\left[ \begin{array}{cccccc|cccccc} n-1 & 1-n & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & n-1 & 1-n & \dots & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n-1 & \dots & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & n-1 & 1-n & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & n & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \]

2°: Até a antepenúltima linha, deve-se somar cada linha com o conjunto das demais que a sucedem (exceto pela última linha).

\[\left[ \begin{array}{cccccc|cccccc} n-1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1-n & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & n-1 & 0 & \dots & 0 & 1-n & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & 0 & n-1 & \dots & 0 & 1-n & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & n-1 & 1-n & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & n & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \]

3°: Multiplica-se a última linha por (n-1).

\[\left[ \begin{array}{cccccc|cccccc} n-1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1-n & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & n-1 & 0 & \dots & 0 & 1-n & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & 0 & n-1 & \dots & 0 & 1-n & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & n-1 & 1-n & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \\ n-1 & n-1 & n-1 & \dots & n-1 & n(n-1) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & n-1 \\ \end{array} \right] \]

4°: Subtrai-se, da última linha, cada uma das demais.*

\[\left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} n-1 & 0 & \dots & 0 & 1-n & 1 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & n-1 & \dots & 0 & 1-n & 0 & 1 & \dots & 0 & -1 \\ \vdots &\vdots & \ddots&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & n-1 & 1-n & 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & (n-1)(2n-1) & -1 & -1 & \dots & -1 & 2(n-1) \\ \end{array} \right] \]

5°: Divide-se a última linha por (2n-1).

\[\left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} n-1 & 0 & \dots & 0 & 1-n & 1 & 0 & \dots & 0 & -1 \\ 0 & n-1 & \dots & 0 & 1-n & 0 & 1 & \dots & 0 & -1 \\ \vdots &\vdots & \ddots&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & n-1 & 1-n & 0 & 0 & \dots & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & n-1 &\frac{-1}{2n-1}&\frac{-1}{2n-1}& \dots &\frac{-1}{2n-1}& \frac{2(n-1)}{2n-1} \\ \end{array} \right] \]

6°: Soma-se cada linha à última.

\[\left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} n-1 & 0 & \dots & 0 & 0 & \frac{2(n-1)}{2n-1} & \frac{-1}{2n-1} & \dots & \frac{-1}{2n-1} & \frac{-1}{2n-1} \\ 0 & n-1 & \dots & 0 & 0 & \frac{-1}{2n-1} & \frac{2(n-1)}{2n-1} & \dots & \frac{-1}{2n-1} & \frac{-1}{2n-1} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots &\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & n-1 & 0 & \frac{-1}{2n-1} & \frac{-1}{2n-1} & \dots & \frac{2(n-1)}{2n-1} & \frac{-1}{2n-1} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & n-1 & \frac{-1}{2n-1} & \frac{-1}{2n-1} & \dots & \frac{-1}{2n-1} & \frac{2(n-1)}{2n-1} \\ \end{array} \right] \]

7°: Divide-se todas as linhas por n-1.
\[\left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & \frac{2}{2n-1} & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \dots & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \frac{2}{2n-1} & \dots & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots &\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \dots & \frac{2}{2n-1} & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \dots & \frac{-1}{(2n-1)(n-1)} & \frac{2}{2n-1} \\ \end{array} \right] \]

  • A dimensão foi reduzida para caber no espaço do editor de texto.
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