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Exercício 1 da Seção 2.2.1 do livro "Essential Linear Algebra with Applications" de Titu Andreescu

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perguntada Mar 30 em Meta por Matheus Cintrão (1 ponto)  

Seja \(A, B \in M_2(\Re )\) matrizes comutativas. Prove que
\[det(A^2+B^2) \geq 0\]

Dica: Verifique que \(A^2 +B^2 = (A+i B) \cdot (A - i B)\)

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1 Resposta

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respondida Mar 30 por Matheus Cintrão (1 ponto)  

Da comutatividade de \(A\) e \(B\) temos que \( AB = BA\) logo:

\( (A + iB) (A -iB) = A^2 -iAB +iBA - i^2B^2\)
\( = A^2 -iAB +iAB + B^2 = A^2 - (-1) B^2\)

\[(A + iB) (A -iB) = A^2 +B^2\]

\(\)

Sejam as matrizes \( A\) e \(B\) com entradas \(a_{ij}\) e \(b_{ij}\), respectivamente.

A matriz \(A + iB\) terá entradas \((a_{ij} + ib_{ij})\)
O Determinante da matria \(A+ iB\) será:

\((a_{11} +ib_{11})(a_{22} +ib_{22}) - (a_{12} +ib_{12})(a_{21} +ib_{21})\)

\( = a_{11} a_{22} + i a_{11} b_{22} + ia_{22} b_{11}- b_{11}b_{22} \)
\( -( a_{21} a_{12} +i a_{21} b_{12}+ i a_{12} b_{21} - b_{21} a_{12}) \)

separando os termos que multiplicam \(i\):

\( a_{11} a_{22} - b_{11} b_{22} - a_{21} a_{12} + b_{21} b_{12} +i( a_{11} b_{22} + a_{22} b_{11} - a_{21} b_{12} - a_{12} b_{21}) \)

Sejam:

\( \alpha = a_{11} a_{22} - b_{11} b_{22} - a_{21} a_{12} + b_{21} b_{12} \)

\( \beta = a_{11} b_{22} + a_{22} b_{11} - a_{21} b_{12} - a_{12} b_{21} \)

Temos \(det(A+ iB) = \alpha + i\beta\)

\(\)

A matriz \(A - iB\) terá entradas \((a_{ij} - ib_{ij})\)
O Determinante da matria \(A - iB\) será:

\((a_{11} -ib_{11})(a_{22} -ib_{22}) - (a_{12} -ib_{12})(a_{21} -ib_{21})\)

\( = a_{11} a_{22} - i a_{11} b_{22} - ia_{22} b_{11}- b_{11}b_{22} \)
\( -( a_{21} a_{12} -i a_{21} b_{12}- i a_{12} b_{21} - b_{21} a_{12}) \)

separando os termos que multiplicam \(i\):

\( a_{11} a_{22} - b_{11} b_{22} - a_{21} a_{12} + b_{21} b_{12} -i( a_{11} b_{22} + a_{22} b_{11} - a_{21} b_{12} - a_{12} b_{21}) \)

\( = \alpha - i\beta\)

Logo, \( det(A- iB) = \alpha - i\beta\)

Temos então que:
\(det(A^2 + B^2) = det(A +iB) \cdot det(A - iB) = (\alpha + i\beta) \cdot (\alpha - i\beta)\)

\(= \alpha^2 - i^2 \beta^2 = \alpha^2 + \beta^2 \geq 0\)

Esta última igualdade se mantem pois sabemos que \( \alpha \) e \( \beta \) são reais.

Logo,
\[det(A^2 + B^2) \geq 0\]

...