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Cap 5 - Exercício 7 - John Rice

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perguntada Mar 30 em Estatística por Bernardo Mendes (1 ponto)  

Mostre que se \(X_n \Longrightarrow c\) em probabilidade e se \(g\) é uma função contínua, então \(g(X_n) \Longrightarrow g(c)\) em proabilidade.

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1 Resposta

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respondida Mar 30 por Bernardo Mendes (1 ponto)  

Pela definição de continuidade de \(g(.)\) em todo seu domínio, temos que: \(\forall \epsilon > 0, \exists \delta(c,\epsilon) > 0 \) tal que \([|| X_n - c|| < \delta] \subseteq [|| g(X_n ) - g(c)|| < \epsilon]\).

Como probabilidade é uma medida de conjuntos, é consequência da relação de contingência acima que: \(P[|| X_n - c|| < \delta] \leq P [|| g(X_n ) - g(c)|| < \epsilon]\).

Podemos inverter a desigualdade dentro da função probabilidade para que mude a relação entre as duas probabilidades, ou seja:

\(P[|| X_n - c|| > \delta] \geq P [|| g(X_n ) - g(c)|| > \epsilon]\) (1)

Porém, sabemos que \(X_n\Rightarrow c \) em probabilidade. Isso implica:

\(\lim_{n\to\infty} P[|| X_n - c|| > \delta] = 0\)

Aplicando esse fato à desigualdade (1) obtemos:

\(\lim_{n\to\infty} P[|| X_n - c|| > \delta] = 0 \geq \lim_{n\to\infty}P [|| g(X_n ) - g(c)|| > \epsilon]\)

Mas \(P(.) \in [0,1]\), logo \(\lim_{n\to\infty} P[|| X_n - c|| > \delta] = 0 =\lim_{n\to\infty}P [|| g(X_n ) - g(c)|| > \epsilon]\)

Portanto \(\lim_{n\to\infty}P [|| g(X_n ) - g(c)|| > \epsilon] = 0 \Rightarrow g(X_n) \Rightarrow g(c)\) em probabilidade.

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