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Mostre que se \(X_n \Longrightarrow c\) em probabilidade e se \(g\) é uma função contínua, então \(g(X_n) \Longrightarrow g(c)\) em proabilidade.

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perguntada Mar 30 em Estatística por Bernardo Mendes (21 pontos)  
editado Mai 24 por Bernardo Mendes

Cap 5 - Exercício 7 - John Rice

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1 Resposta

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respondida Mar 30 por Bernardo Mendes (21 pontos)  

Pela definição de continuidade de \(g(.)\) em todo seu domínio, temos que: \(\forall \epsilon > 0, \exists \delta(c,\epsilon) > 0 \) tal que \([|| X_n - c|| < \delta] \subseteq [|| g(X_n ) - g(c)|| < \epsilon]\).

Como probabilidade é uma medida de conjuntos, é consequência da relação de contingência acima que: \(P[|| X_n - c|| < \delta] \leq P [|| g(X_n ) - g(c)|| < \epsilon]\).

Podemos inverter a desigualdade dentro da função probabilidade para que mude a relação entre as duas probabilidades, ou seja:

\(P[|| X_n - c|| > \delta] \geq P [|| g(X_n ) - g(c)|| > \epsilon]\) (1)

Porém, sabemos que \(X_n\Rightarrow c \) em probabilidade. Isso implica:

\(\lim_{n\to\infty} P[|| X_n - c|| > \delta] = 0\)

Aplicando esse fato à desigualdade (1) obtemos:

\(\lim_{n\to\infty} P[|| X_n - c|| > \delta] = 0 \geq \lim_{n\to\infty}P [|| g(X_n ) - g(c)|| > \epsilon]\)

Mas \(P(.) \in [0,1]\), logo \(\lim_{n\to\infty} P[|| X_n - c|| > \delta] = 0 =\lim_{n\to\infty}P [|| g(X_n ) - g(c)|| > \epsilon]\)

Portanto \(\lim_{n\to\infty}P [|| g(X_n ) - g(c)|| > \epsilon] = 0 \Rightarrow g(X_n) \Rightarrow g(c)\) em probabilidade.

comentou Abr 23 por Lucas Santos e Silva (76 pontos)  
Excelente solução Bernardo!

Muito boa mesmo, adotou um caminho diferente do que eu havia pensado inicialmente para o problema, mas obtendo uma solução muito mais simples, direta e elegante.

Gostei particularmente da abordagem inicial, onde utilizou-se da probabilidade como uma medida de conjuntos, permitindo assim manipular a definição de continuidade de maneira que, posteriormente, viabilizasse considerar a convergência \((X_n \longrightarrow_p c)\) de forma direta na demonstração.

Dito isso, fiquei em dúvida se a relação de continência adotada na primeira expressão da solução poderia ter sido utilizada da forma indicada. Neste caso me refiro ao seguinte trecho:

\( \forall \epsilon > 0,   \exists \delta(c,\epsilon) > 0 \) tal que \( [|| X_n - c|| < \delta] \subseteq [|| g(X_n ) - g(c)|| < \epsilon] \)

Para ilustrar o problema, considere o seguinte exemplo em \( \mathbb{R} \):

\[ f: [0;1] \to [0;1/2] \]

\[ f(x) = x/2 \]

Note que temos uma função contínua onde a relação indicada não será válida.

No entanto, se estiver correto em minha percepção, creio que faz-se necessário apenas um ajuste mínimo (e que não invalida a sequência da resolução).

Considerando a definição de continuidade em termos de bolas (creio que desta forma facilite a visualização), entendo que a relação de continência correta neste caso seria:

\[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta>0 \mid g (B_X (c, \delta)) \subseteq B_Y(g(c), \epsilon ) \]

Notar que considera-se aqui, apenas para facilitar a notação e clareza do argumento, uma função \(g: X \to Y \), onde \( X \) e \( Y \) são dois espaços quaisquer.

Dada a relação acima, ao considerarmos a abordagem utilizada originalmente na solução obtemos:

\[ P[g (B_X (c, \delta))] \leq P[B_Y(g(c), \epsilon )] \]

O que por sua vez nos fornece:

\[ P[g (||X_n - c || < \delta)] \leq P[ \, ||g(X_n) - g(c)|| < \epsilon )] \]

E portanto:

\[ P[g (||X_n - c || > \delta)] \geq P[ \, ||g(X_n) - g(c)|| > \epsilon )] \]

Por fim, dado que \((X_n \longrightarrow_p c)\), obtemos:

\[ P[g (||X_n - c || > \delta)] = 0 \]

Deste ponto em diante, seguiria da mesma forma já indicada em sua resposta.

Veja se concorda comigo ou se estou deixando passar algo.

Desde já agradeço a atenção!
comentou Mai 23 por danielcajueiro (5,581 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão.
comentou Mai 24 por Bernardo Mendes (21 pontos)  
Feedback aplicado. Obrigado pela sugestão, professor.
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