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Prove que, para todas as matrizes \( A \), \( B \hspace{0.15cm} \in M_{2}(C) \), temos: \( det(A+B) = det(A) + det(B) + Tr(A)Tr(B) - Tr(AB) \)

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perguntada Mar 30 em Matemática por Vinícius Oliveira (11 pontos)  
editado Mai 21 por Vinícius Oliveira

Referência: Questão 5, seção 2.1.1, Livro "Essential Linear Algebra with Applications" de Titu Andreescu

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1 Resposta

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respondida Mar 31 por Vinícius Oliveira (11 pontos)  
editado Mar 31 por Vinícius Oliveira

Antes de tudo, explicitemos algumas matrizes relevantes para a solução do exercício:

\[ A = \left[ \begin{array}{cc} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \\ \end{array} \right] \hspace{0,15cm} (1) \]

\[ B = \left[ \begin{array}{cc} b_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22} \\ \end{array} \right] \hspace{0,15cm} (2) \]

\[ A + B = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} + b_{11}& a_{12} + b_{12}\\ a_{21} + b_{21}& a_{22}+ b_{22} \\ \end{array} \right] \hspace{0,15cm} (3) \]

O nosso objetivo é mostrar a validade da equação abaixo para matrizes \(A\) e \(B\) quadradas de ordem 2 quaisquer

\( det(A+B) = det(A) + det(B) + Tr(A)Tr(B) - Tr(AB) \hspace{0,15cm} ( \star) \)

Para tanto, a ideia é começarmos expandindo o lado esquerdo de \( ( \star)\). Em seguida, compararemos o resultado dessa expansão com a soma de cada um dos termos do lado direito de \( ( \star)\). Nesse sentido, com base em \((3)\), vejamos quanto vale \(det(A+B)\):

\( det(A+B) = (a_{11} + b_{11})(a_{22}+ b_{22}) - (a_{12} + b_{12})(a_{21} + b_{21}) \)

\[ det(A+B) = (a_{11}a_{22} + a_{11}b_{22} + b_{11}a_{22} + b_{11}b_{22}) - (a_{12}a_{21}+ a_{12} b_{21} +\] \(b_{12}a_{21} + b_{12}b_{21}) \hspace{0,15cm} (4) \)

O lado esquerdo de \( ( \star)\) é a equação \((4)\), para a qual retornaremos ao final desta resolução. A seguir, com base em \((1)\) e em \((2)\), calculamos cada um dos termos do lado direito de \( ( \star)\)

\( det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \)

\(det(B) = b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21} \)

\( \Rightarrow det(A) + det(B) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} + b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21} \hspace{0,15cm} (5) \)

\( Tr(A) = a_{11} +a_{22} \)

\( Tr(B) = b_{11} +b_{22}\)

\( \Rightarrow Tr(A)Tr(B) = (a_{11} +a_{22})(b_{11} +b_{22} ) \)

\( \Rightarrow Tr(A)Tr(B) = (a_{11}b_{11} + a_{11}b_{22} + a_{22}b_{11} + a_{22}b_{22}) \hspace{0,15cm} (6) \)

Agora falta calcularmos \(Tr(AB)\). Para isso, seja \(C = AB\). Como só estamos interessados na diagonal principal de \(C\) , podemos ganhar tempo recorrendo a definição do produto linha por coluna de matrizes para o caso no qual \(A\) e \(B\) são quadradas de ordem 2:


def: Sejam \(A\) e \(B\) matrizes quadradas de ordem 2 quaisquer. O produto \(C = AB\), também de ordem 2, é tal que as entradas de \(C\) possuem a seguinte forma:

\( c_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^{2} a_{ik}b_{kj} \hspace{0,15cm}; \hspace{0,15cm} i,j \hspace{0,05cm} \in \hspace{0,05cm} \{1,2\} \)


Em particular, \( Tr(C) = c_{11} + c_{22} \). Dessa forma, podemos obter os elementos da diagonal principal de \( C\) usando a definição acima:

\( c_{11} = \displaystyle \sum_{k=1}^{2} a_{1k}b_{k1} \hspace{0,15cm} = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}\)

\( c_{22} = \displaystyle \sum_{k=1}^{2} a_{2k}b_{k2} \hspace{0,15cm} = a_{21}b_{12} +a_{22}b_{22} \)

\( \Rightarrow Tr(AB) = Tr(C) = c_{11} + c_{22} = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \)

\( \Rightarrow Tr(AB) = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{21}b_{12} +a_{22}b_{22} \hspace{0,15cm} (7) \)

Finalmente, dispomos dos insumos necessários para solucionar o exercício. Como chegamos a várias equações importantes, vamos organizá-las no mesmo lugar:

\[det(A+B) = (a_{11}a_{22} + a_{11}b_{22} + b_{11}a_{22} + b_{11}b_{22}) - (a_{12}a_{21}+ a_{12} b_{21} +\] \(b_{12}a_{21} + b_{12}b_{21}) \hspace{0,15cm} (4) \)

\( det(A) + det(B) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} + b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21} \hspace{0,15cm} (5) \)

\( Tr(A)Tr(B) = (a_{11}b_{11} + a_{11}b_{22} + a_{22}b_{11} + a_{22}b_{22}) \hspace{0,15cm} (6) \)

\( Tr(AB) = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{21}b_{12} +a_{22}b_{22} \hspace{0,15cm} (7) \)

Para mostrarmos a validade da equação \( (\star) \), se imaginarmos as equações \((4)\) a \((7)\) como variáveis, é necessário garantir isto:

\( (4) = (5) + (6) - (7)\)

Façamos, pois, a conta \( (5) + (6) - (7)\)

\[ a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} + b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21} + \underline{a_{11}b_{11}} +a_{11}b_{22} + a_{22}b_{11} +\underline{a_{22}b_{22}} - \] \(\underline{a_{11}b_{11}}-a_{12}b_{21} - a_{21}b_{12} -\underline{a_{22}b_{22}} =\)

\[ = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} + b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21} + a_{11}b_{22} + a_{22}b_{11} - a_{12}b_{21} -a_{21}b_{12} \]

Rearranjando os termos da expressão acima, temos:

\[a_{11}a_{22} + a_{11}b_{22} + b_{11}a_{22} + b_{11}b_{22} - (a_{12}a_{21}+ a_{12} b_{21} + b_{12}a_{21} + b_{12}b_{21}) \]

Ora, a equação acima é exatamente igual a \(det(A+B)\), consoante \((4)\). Portanto, provamos a validade da equação \( (\star) \). Ou seja, demostramos o seguinte fato para quaisquer matrizes \(A\) e \(B\) quadradas de ordem 2:

\( det(A+B) = det(A) + det(B) + Tr(A)Tr(B) - Tr(AB) \hspace{0,15cm} \)

comentou Abr 1 por Matheus Cintrão (11 pontos)  
Uma pequena correção. Esta é a questão 5 da seção 2.1.1 e não 2.2.1.

Ficou bastante clara resolução. Eu teria pouco ou nada a acrescentar uma vez que segui um caminho quase idêntico na minha própria resolução.  Esta resolução "de trás para frente", partido da afirmação que se deseja provar para demostrar que ela se sustenta, me parece a forma mais concisa e didática de apresentar a prova.

Uma alteração que eu faria para tornar mais visual a resposta e para manter mais coerência com a restante da resolução seria apresentar a matriz \(AB\), aproveitando do fato de o exercício trabalhar com matrizes 2x2 que torna fácil a sua apresentação.

\[ AB =
\left[
\begin{array}{cc}
a_{11}b_{11} +a_{12}b_{21}& a_{11}b_{12} +a_{12}b_{22}\\        
a_{21}b_{11} +a_{22}b_{21}& a_{21}b_{12} +a_{22}b_{22} \\

\end{array}
\right] \]

Além disso, não vejo nada que mereça ressalvas.
comentou Abr 2 por Vinícius Oliveira (11 pontos)  
editado Abr 2 por Vinícius Oliveira
Obrigado pelo comentário, Matheus! Eu confundi mesmo a seção da questão. Corrigi isso na pergunta.

Quanto a matriz \( AB \) , realmente, poderia ficar mais visual a resposta explicitando a matriz inteira. Mas vou optar por deixar da maneira que fiz mesmo, pois é uma forma de mostrar que não precisamos calcular o resultado completo do produto matricial se só precisamos de entradas específicas da matriz resultante. (em particular, o traço nesse exercício). No caso \(2 \times 2 \)  não faz muita diferença, mas fica como introdução a uma estratégia útil  para matrizes de dimensões maiores, para as quais o cálculo do produto é mais dispendioso.   De fato, a definição do produto matricial que coloquei é extensível ao caso mais geral em que \( A \) é \(n \times k \) e \(B \) é \( k \times l \)
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