Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Mathematical Statistics and Data Analysis-John Rice- Cap. 4 Ex 16 - Suponha que \(E(X) = \mu\) e \(Var(X)= \sigma^2\). Dado \(Z=(X - \mu)/\sigma\). Mostre que E(Z) = 0 e Var(Z)= \(1\)

0 votos
29 visitas
perguntada Mar 31 em Estatística por João Pedro Mussi (16 pontos)  
editado Mar 31 por João Pedro Mussi
Compartilhe

1 Resposta

0 votos
respondida Mar 31 por João Pedro Mussi (16 pontos)  
editado Mar 31 por João Pedro Mussi

1- Provar E(Z) = 0

Utilizando a definição de \(Z\) do enunciado e aplicando o operador de esperança temos que:

\(E(Z) = E[(X-\mu)/\sigma]\)

Por propriedade do operador de esperança podemos reescrever essa equação como:

\(E(Z)= [E(X)-E(\mu)]*E(1/\sigma)\).

Como \(E(X) = \mu\) é possível substituir na equação acima:

\(E(Z)= [\mu-E(\mu)]*E(1/\sigma)\) como \(\sigma\) e \(\mu\) são constantes, dado o enunciado, temos:

\(E(Z)= [(\mu)-(\mu)]*(1/\sigma) = 0*1/\sigma = 0 \)

Chegando assim ao resultado de \(E(Z)=0\).

2- Provar Var(Z) = 1

Para provar o resultado será utilizado a definição de variância como \(Var(X)= E(X^2) - E(X)^2 = \sigma^2\)

Utilizando o operador de variância em \(Z\) temos:

\(Var(Z) = Var[(X-\mu)/\sigma]\)

Por propriedade de variância e dado que \(\sigma\) é uma constante é possível reescrever a equação como:

\(Var(Z) = (1/\sigma^2)*Var(X-\mu)\)

Utilizando a definição de variância apresentada, utilizando a propriedade do operador de esperança e dado que \(\sigma\) e \(\mu\) são constantes, é possível reescrevê-la como:

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[E[(X-\mu)^2] - E(X-\mu)^2]\)

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[(E(X^2-2*\mu*X+\mu^2) - E(X-\mu)*E(X-\mu)]\)

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[E(X^2)-2*\mu*E(X)+\mu^2 - (E(X)-\mu)*(E(X)-\mu)]\)

Como visto em (1) \(E(X) = \mu\) e \((E(X) - \mu)\) = 0

Logo, é possível reescrever a equação como:

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[E(X^2)-2*\mu^2+\mu^2 - 0*0]\)

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[E(X^2)-*\mu^2] \)

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[E(X^2)-*E(X)^2] \)

Portanto, dada a definição inicial em (2):

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[E(X^2)-E(X)^2] \)= \( Var(Z) = (1/\sigma^2)*Var(X) \)

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*\sigma^2 \) = 1

Chegando assim ao resultado de \(Var(Z) = 1 \).

...