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Utilizando funções de geração de momentos, mostre que para \(\alpha \rightarrow \infty\) a distribuição gamma com parâmetros \(\alpha\) e \(\lambda\), propriamente padronizada, tende a distribuição normal padronizada.

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perguntada Abr 1 em Estatística por Lucas Iantorno Klotz (11 pontos)  
editado 6 dias atrás por Lucas Iantorno Klotz

Capítulo 5, John Rice, Exercício 6

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1 Resposta

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respondida Abr 1 por Lucas Iantorno Klotz (11 pontos)  
editado Abr 1 por Lucas Iantorno Klotz

Para notações e terminologias, usaremos Rice (1995). Usaremos a função geradora de momentos (mgf) da distribuição de gamma, padronizada, para mostrar que, ao passo que \(\alpha\) tende ao infinito, aquela tende a distribuição normal padronizada.

A mgf de uma variável aleatória é uma especificação alternativa da sua distribuição de probabilidade. Então, alguns resultados relacionados a isso são necessários para a resolução do nosso problema:

Propriedade 1: Se a mgf existe para um \(t\) num intervalo aberto contendo zero, ela determina unicamente a distribuição de probabilidade.
Em outras palavras, uma função de distribuição \(F_n\) é unicamente determinada pela sua mgf, \(M_n\). Podemos ainda considerar uma propriedade ainda mais forte.
Teorema 1. Teorema da Continuidade. Seja \(F_n\) uma sequência de funções de distribuição cumulativas (fdc) com a correspondente \(M_n\). Seja \(F\) a fdc com mgf \(M\). Se \(M_n(t) \rightarrow M(t)\) para todo \(t\) em um intervalo aberto contendo zero, então \(F_n(x) \rightarrow F(x)\) em toda continuidade de pontos de \(F\). Ou seja, a unicidade da propriedade 1 vale para limites também. O que nós iremos fazer é, então, mostrar que uma sequência de variáveis aleatórias {\({X_n}\)} com distribuição gamma, com uma sequência crescente de \(\alpha_1, \alpha_2, ...\) com \(\alpha \rightarrow \infty\) tende a distribuição normal padronizada, de forma que, no limite, temos a \(F_X \rightarrow F_Z\).

Pois bem, considere a mgf de \(X_n\):
\[M_{X_n} (t) = \left(\frac{\lambda_n}{\lambda_n - t} \right)^{\alpha_{n}},\]
enquanto que as respectivas média e variância:
\[M^{\\'}(0) = E(X_n) = \frac{\alpha_n}{\lambda_n}\]
\[M^{ \\"}(0) =E(X_n^2) = \frac{\alpha_n(\alpha + 1)}{\lambda_n^2}\]
\[Var(X_n) = \frac{\alpha_n}{\lambda_n^2}.\]
Repare que no limite, ambos momentos vão ao infinito, por isso é importante padronizar \(X_n\).
\[Z_n = \frac{X_n - E(X_n)}{\sqrt{Var(X_n)}},\]
evidentemente \(E(Z_n) = 0\) e \(Var(Z_n) = 1\). Basta mostrarmos que mgf, \(M_{Z_n} (t)\), converge para a mgf da normal que encerramos o problema. Considere o próximo resultado.
Propriedade 2: Se \(X\) tem uma mgf \(M_X(t)\) e \(Y = a + bX\), então Y tem a mgf \(M_Y(t) = e^{at}M_X(bt)\).
No nosso caso, lidando com a padronização, \(a = - \frac{\mu}{\sigma}\) e \(b=\frac{1}{\sigma}\). Logo, temos
\[M_{Z_n}(t) = e^{-(t)\sqrt{\alpha_n}}\left(\frac{\lambda_n}{\lambda_n - \frac{\lambda_n}{\sqrt{\alpha_n}}t} \right)^{\alpha_{n}},\]
com certa manipulação, temos
\[M_{Z_n}(t) = e^{-t\sqrt{\alpha_n}}\left(1 - \frac{t}{\sqrt{\alpha_n}} \right)^{- \alpha_n},\]
tomando o limite,
\[\lim_{\alpha\to\infty} M_{Z_n} (t) = e^{\frac{t^2}{2}}.\]
A última expressão é a mgf da distribuição normal padronizada. Logo, ao passo que \(\alpha\) tende ao infinito, a distribuição padronizada gamma converge em distribuição para a variável normal padrão, como queríamos demonstrar.
Isso encerra o problema.

comentou Abr 7 por Bernardo Mendes (1 ponto)  
Excelente solução, Lucas. Não percebi qualquer falha teórica na formulação e no desenvolvimento do problema. Intuitivamente é interessante pensar que o alfa é o parâmetro que modela o formato da curva da distribuição gama. Isto é, \( \alpha < 1 \Rightarrow\) distribuição gamma com formato exponencial e assintótica aos eixos \( y\) e \(x\). Já quando \(\alpha = 1\) a distribuição gama torna-se uma distribuição exponencial de parâmetro de escala \(\lambda\). Por fim, e finalmente o caso que nos interessa, quando \(\alpha > 1\) a distribuição gama assume um formato de "Montanha" e uma distorção que é inversamente proporcional ao tamanho do \(\alpha\). No nosso caso, \(\alpha \Rightarrow \infty \), o que intuitivamente promove a menor "skewness" ou distorção na distribuição gama. Ao normalizar, como feito por você no problema, conseguimos atingir exatamente a Distribuição Normal Padronizada.
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