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Sendo \(X_{1}, \ldots, X_{20}\) variáveis aleatórias independentes com função de densidade:

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perguntada Abr 1 em Estatística por Rodrigo Fernandes (16 pontos)  

Sendo \(X_{1}, \ldots, X_{20}\) variáveis aleatórias independentes com função de densidade:
\(f(x)=2 x, \quad 0 \leq x \leq 1\)
Sendo \(S=X_{1}+\cdots+X_{20}\), use o Teorema do Limite Central para aproximar \(P(S \leq 10)\).

Questão do livro "Mathematical statistics and data analysis", do Rice J.A. Capítulo 5, exercício 16 (página 189).

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1 Resposta

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respondida Abr 1 por Rodrigo Fernandes (16 pontos)  

Primeira coisa que devemos fazer é achar \(E(x_{i})\) e \(E(x_{i}^2)\), que serão iguais para as 20 variáveis aleatórias. Assim, temos:
\(E(x_{i}) = \int_{0}^{1} 2x^2 \,dx = \frac {2}{3}\)
\(E(x_{i}^2) =\int_{0}^{1} 2x^3 \,dx = \frac {1}{2}\)
Logo, \(var(x_{i}) = E(x_{i}^2) - E^2(x_{i}) = \frac{1}{2} - (\frac {2}{3})^2 = \frac {1}{18}\)

Com essas informações, podemos aplicar o Teorema do Limite Central (TLC). Sua ideia é que com uma quantidade grande de amostra, nossas funções somadas se aproximam de uma distribuição normal, desde que suas variâncias e primeiro momento sejam finitos. A fórmula para o cálculo será:
\( \frac {S- 20*\frac{2}{3}}{\sqrt \frac {20}{18}}\)

O que estamos fazendo é multiplicar a \(E(x_{i})\) e dividindo sua variância por \(20\) (número de \(x_{i}'s\) somados) e tirando a raíz dessa divisão, com objetivo de obter uma distribuição normal, com média 1 e variância 0. Dessa forma, achamos a normal padronizada e resolvemos o que a questão pede, ou seja, probabilidade de S ser menor que 10:

\(P(S \leq 10) = P(\frac {S- \frac{40}{3}}{ \frac {\sqrt 10}{3}} \leq \frac {10- \frac{40}{3}}{ \frac {\sqrt 10}{3}})\\
= P(N(0,1) \leq \frac {- \frac{10}{3}}{ \frac {\sqrt 10}{3}})\\
= P(Z \leq -\sqrt{10})\\
\approx P(Z \leq -3.16)\)
Pela Tabela da Normal tiramos:
\(\approx 1 - 0.9921 = .00079\)
Ou seja, aproximadamente \(0,079\%\)

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