Temos que \(X\sim Binomial(n,p)\) e \(Y\sim Poisson(\lambda)\).
Logo, \[P(X=k)=\left( \begin{array}{c}n\\k\end{array} \right) p^k(1-p)^{n-k}\] e \[P(Y=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}.\]
Lembrando da definição do Binômio de Newton: \[(a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}n\\k\end{array} \right) a^{n-k}b^{k}.\]
Primeiramente, calcularemos a função geratriz de momentos de X. A função geratriz de momentos é definida como \(M_{X}(t)=E\left(e^{tX}\right)\).
Logo, \[M_{X}(t)=E\left(e^{tX}\right)=\sum_{k=0}^{n}e^{tk}\left( \begin{array}{c}n\\k\end{array} \right) p^k(1-p)^{n-k}\]
\[=\sum_{k=0}^{n}\left( \begin{array}{c}n\\k\end{array} \right)(pe^t )^k(1-p)^{n-k}=(pe^t+1-p)^{n}=[1+p(e^t-1)]^{n}\].
Para n→∞ e p→0, e np→λ, devemos calcular o \(\lim\limits_{n \to \infty} [1+p(e^t-1)]^{n}\).
Lembrando que \(\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x\), temos que:
\[\lim\limits_{\begin{array}{c}n \to \infty\\p \to 0\\ np \to \lambda\end{array}} [1+p(e^t-1)]^{n}=\lim\limits_{\begin{array}{c}n \to \infty\\p \to 0\\ np \to \lambda\end{array}} \left[1+\frac{np(e^t-1)}{n}\right]^{n}=\lim\limits_{\begin{array}{c}p \to 0\\ np \to \lambda\end{array}}e^{np(e^t-1)}\]
\[\Rightarrow M_{X}(t)=e^{\lambda(e^t-1)}\].
Também temos que \(Y\sim Poisson(\lambda)\), então a função geratriz de momentos:
\(M_{Y}(t)= E(e^{tY})=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{e^{tk}e^{\lambda}\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda e^t)^k}{k!}=e^{-\lambda}e^{\lambda e^t}=e^{\lambda(e^t-1)}\).
Logo, temos que \[\lim\limits_{\begin{array}{c}n \to \infty\\p \to 0\\ np \to \lambda\end{array}} M_{X}(t)=M_{Y}(t)\].
E então, concluímos que, para n→∞ e p→0, e np→λ, a distribuição Binomial com parâmetros n e p, tende a distribuição Poisson com parâmetro λ.