Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Eu tenho uma densidade conjunta bivariada com um coeficiente de valor não especificado. Como encontrar esse coeficiente e obter as densidades marginais e condicionais?

0 votos
44 visitas
perguntada Abr 4 em Estatística por Ricardo Saldanha (1 ponto)  

[Adaptado de RICE, J, A. Mathematical Statistics and Data Analysis (2006) - cap. 3, exc. 18]
X e Y possuem a seguinte função densidade de probabilidade:
\( f(x,y) = k(x-y) \), se \(0 \leq y \leq x \leq 1\)
e \(f(x,y) = 0\), caso contrário.

a) Represente graficamente a região sobre a qual a função de densidade é positiva e use a ilustração para determinar as bandas de integração nos próximos itens.
b) Encontre \(k\).
c) Obtenha as densidades marginais de X e de Y.
d) Obtenha as densidades condicionais de Y dado X e de X dado Y.

Compartilhe

1 Resposta

0 votos
respondida Abr 4 por Ricardo Saldanha (1 ponto)  
editado Mai 22 por Ricardo Saldanha

a) Pelo enunciado, a função de densidade assume valores positivos sobre a região \(0 \leq y \leq x \leq 1\) de \(\mathbb{R}^{2}\). Note que a restrição pode ser separada em \(x,y \in [0,1]\) e \(y \leq x \); ou seja, é equivalente a \(y \leq x\) em \([0,1]^{2} \). Representemos a região com ajuda da biblioteca matplotlib, em python.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

if __name__ == '__main__':

    x = np.linspace(0,1)
    y = x

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 9))
    ax.set_aspect('equal') # Escala igual para ambos os eixos. 
    ax.fill_between(x, y) # Para representar y<=x, não só y=x.

    ax.grid(True, which='both')
    ax.set_xlabel('x', loc='right')
    ax.set_ylabel('y', loc='top',rotation=0)

    # Posicionando os eixos na origem.
    ax.spines['left'].set_position('zero')
    ax.spines['bottom'].set_position('zero')

    # Retirando os contornos direito e superior.
    ax.spines['right'].set_color('none')
    ax.spines['top'].set_color('none')

O código acima fornece:
A imagem será apresentada aqui.

b) Dado que \(f\) é uma densidade de probabilidade, o volume sob sua curva totaliza 1, o que podemos representar por: \( {\displaystyle \int \int_{D} f(x,y) dxdy=1}\), em que \(D\) é o suporte, i.e. \(D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq y \leq x \leq 1\}\).
Embora x e y assumam valores de amplitude \([0,1]\), se usássemos as bandas \((x=0,x=1)\) e \((y=0,y=1)\), estaríamos integrando sobre o retângulo \([0,1]^2\) e este não é o suporte que vimos no item (a). Pense na curva \(f\) em \(\mathbb{R}^{3}\) e no triângulo que ilustramos como domínio. Fixe um \(x \in [0,1]\), formando no plano definido por esse \(x\) fixo uma superfície abaixo da curva \(f\), até o domínio. Essa superfície tem uma base (domínio) que vai de \(y=0\) a \(y=x\). São bandas consistes com o suporte, portanto, \((x=0,x=1)\) e \((y=0,y=x)\).
\({\displaystyle 1 = \int_{0}^{1}\int_{0}^{x} k(x-y) dxdy}\)
\({\displaystyle \space\space = k \int_{0}^{1} \bigg( xy - \frac{y^2}{2} \bigg) \bigg|_{0}^{x} dx = k \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} dx = \frac{k}{2} \bigg(\frac{x^{3}}{3} \bigg) \bigg|_{0}^{1} = \frac{k}{6} }\)
\(\rightarrow k=6\)

c) A densidade marginal de \(X\) é a densidade conjunta integrando para todos os valores de \(Y\). A densidade marginal de \(Y\) é análoga.
No suporte, \(y \in [0,1]\) assume valores menores ou iguais a \(x \in [0,1]\); assim, \(y \in [0,x]\). Consideramos essa banda e substituímos \(k=6\).
\({\displaystyle f_{X}(x) = \int_{0}^{x} f(x,y) dy = \int_{0}^{x} 6(x-y) dy = 6 \bigg( xy - \frac{y^{2}}{2} \bigg) \bigg|_{0}^{x} }\)
\({\displaystyle \kern{2.7em} = 6\frac{x^{2}}{2} = 3x^{2} }\)
Sob ótica análoga, \(x \in [0,1]\) assume valores maiores ou iguais a \(y \in [0,1]\), logo \(x \in [y,1]\)
\({\displaystyle f_{Y}(y) = \int_{y}^{1} f(x,y) dx = \int_{y}^{1} 6(x-y) dx = 6 \bigg( \frac{x^{2}}{2} - xy \bigg) \bigg|_{y}^{1} }\)
\({\displaystyle \kern{2.7em} = 6 \bigg[\frac{1}{2} - y - \bigg( \frac{y^{2}}{2} - y^{2} \bigg) \bigg] = 6 \bigg(\frac{1}{2} - y + \frac{y^{2}}{2} \bigg) = 3(y-1)^{2} }\)

d) A densidade de X condicional a Y é obtida simplesmente pela razão da densidade conjunta pela densidade marginal de Y (Y condicional a X é análogo).
\({\displaystyle f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)} = \frac{6(x-y)}{3(y-1)^{2}} = \frac{2(x-y)}{(y-1)^{2}} }\)
\({\displaystyle f_{Y|X}(y|x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)} = \frac{6(x-y)}{3x^{2}} = \frac{2(x-y)}{x^{2}} }\)

comentou Abr 6 por Thiago Trafane (21 pontos)  
Ricardo, parabéns pela resposta! Tenho apenas alguns comentários pontuais:

1) Penso que a definição do conjunto \( D \) apresentada no item b deveria ser \( D = ( (x,y) \in \Re^2 : 0 \leq y \leq x \leq 1 ) \).

2) Quando no item b você calculou o \( k \), você integrou primeiro com relação a \( y \) e depois com relação a \( x \), o que é a estratégia correta dado que o intervalo de integração de \( y \) considerado depende de \( x \). Contudo, quando você apresenta a integral que deve somar 1, você está integrando primeiro com relação a \( x \). Isto é, penso que a expressão inicial correta seria \( 1 = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} k(x-y) dydx \).  

3) No final do item c, acredito que tenha um erro de digitação: onde está escrito \( 6 [\frac{1}{2} - y(\frac{y^2}{2}-y^2)] \) deveria ser \( 6 [\frac{1}{2} - y - (\frac{y^2}{2}-y^2)] \).
comentou Mai 22 por Ricardo Saldanha (1 ponto)  
Muito obrigado pelas correções, Thiago. Você está correto em cada uma delas. Todas foram devidamente editadas.
O conjunto antes figurava como "\(D=\{0 \leq y \leq x \leq 1\}\)", as outras duas eram como o Thiago comentou.
...