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Dois times, A e B, jogam uma série de jogos. Se o time A tem probabilidade 0,4 de ganhar cada jogo, é vantagem para ele jogar melhor de 3 numa série de 5 jogos ou melhor de 4 numa série de 7 jogos? Assuma que o resultado dos jogos é independente.

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perguntada Abr 4 em Estatística por Alan Antunes Rosendo (1 ponto)  

Dois times, A e B, jogam uma série de jogos. Se o time A tem probabilidade 0,4 de ganhar cada jogo, é vantagem para ele jogar melhor de 3 numa série de 5 jogos ou melhor de 4 numa série de 7 jogos? Assuma que o resultado dos jogos é independente.

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1 Resposta

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respondida Abr 4 por Alan Antunes Rosendo (1 ponto)  

Como os jogos são independentes, podemos considerar que a vitória de A é um "sucesso" e utilizar a distribuição binomial para avaliar qual a melhor escolha para o time A.
A probabilidade do time A ter k vitórias é dada por:
\(P(k)=\binom{n}{k}.p^k.(1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.p^k.(1-p)^{n-k}\)
No caso, temos os seguintes dados:
\(n: \)Número de jogos.
\(k:\)Quantidade de vitórias do time A.
\(p:\)Probabilidade do time A ganhar.

Calculando para o caso com 5 jogos:
A probabilidade do time A ganhar a série será dada por: \(X=P(3)+P(4)+P(5)\)
Calculando os termos, temos:
\(P(3)=\binom{5}{3}.0,4^3.(1-0,4)^{5-3} = \frac{5!}{3!(5-3)!}.0,4^3.(1-0,4)^{5-3}\approx0,2304\)
\(P(4)=\binom{5}{4}.0,4^4.(1-0,4)^{5-4} = \frac{5!}{4!(5-4)!}.0,4^4.(1-0,4)^{5-4}\approx0,0768\)
\(P(5)=\binom{5}{5}.0,4^5.(1-0,4)^{5-5} = \frac{5!}{5!(5-5)!}.0,4^5.(1-0,4)^{5-5}\approx0,0102\)
Substituindo, obtemos:
\(X=P(3)+P(4)+P(5)\approx0,3174=31,74\%\)

Calculando para o caso com 7 jogos:
A probabilidade do time A ganhar a série será dada por:
\(Y=P(4)+P(5)+P(6)+P(7)\)
Calculando os termos, temos:
\(P(4)=\binom{7}{4}.0,4^4.(1-0,4)^{7-4} = \frac{7!}{4!(7-4)!}.0,4^4.(1-0,4)^{7-4}\approx0,1935\)
\(P(5)=\binom{7}{5}.0,4^5.(1-0,4)^{7-5} = \frac{7!}{5!(7-5)!}.0,4^5.(1-0,4)^{7-5}\approx0,0774\)
\(P(6)=\binom{7}{6}.0,4^6.(1-0,4)^{7-6} = \frac{7!}{6!(7-6)!}.0,4^6.(1-0,4)^{7-6}\approx0,0172\)
\(P(7)=\binom{7}{7}.0,4^7.(1-0,4)^{7-7} = \frac{7!}{7!(7-7)!}.0,4^7.(1-0,4)^{7-7}\approx0,0016\)
Substituindo, temos:
\(Y=P(4)+P(5)+P(6)+P(7)\approx 0,2897= 28,97\%\)

Com isso, concluímos que a série de 5 jogos é mais vantajosa para o time A

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