Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Uma prova da lei de Pitágoras para qualquer combinação de vetores ortonormais descritos abaixo (notação matricial).

0 votos
42 visitas
perguntada Abr 5 em Matemática por Thiago Lappicy (6 pontos)  
editado Mai 11 por Thiago Lappicy

Moste, formando b^t = b diretamente, que a lei de Pitágoras é valida para qualquer combinação
\[||b|| =x_1*q_1\ +\ x_2*q_2 \ +\ ...\ +\ x_n*q_n \] de vetores ortonormais:
\[||b||^2 = x_1^2 \ + \ ... \ + \ x_n^2\]

Em termos matriciais, b = Q*x, provando novamente que os comprimentos são preservados:

\[||Q*x||^2 = ||x||^2\]

Esse problema foi retirado de:
Questão 7 do Capítulo 3.4 do livro: Linear algebra and its applications – Gilbert Strang (Forth Edition)

Compartilhe

1 Resposta

0 votos
respondida Abr 5 por Thiago Lappicy (6 pontos)  

Escrevendo em termos matriciais, temos que a função
\[ b = Q*x \]

pode ser escrita com Q e x sendo:

\[Q=\left[\begin{array}{cc} q_1 & q_2 & ... & q_n \\ \end{array}\right]\]

\[x=\left[\begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \\ \end{array}\right]\]

Podemos também definir que:

\[ b^t * b = (Q * x)^t * (Q * x) \] \[b^t * b = Q^t * x^t * Q * x \]\[b^t * b = x^t * x * Q^t * Q\]
Se Q for uma matriz quadrada ou retangular com colunas ortonormais, então
\[ Q^t * Q = I\]
Essa é a "peça chave" da questão, apenas porque isso é verdade, podemos dizer que os comprimentos dos vetores são mantidos (será mostrado adiante). Podemos então substituir usando a equação acima e teremos que:
\[b^t * b = x^t * x * I\]\[b^t * b = x^t * x\]
Claculando o x^t * x (x com a transposta dele mesmo) com base na forma matricial expressa acima, temos que,

\[ b^t * b = x^t * x = x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2\]

Tomando que

\[ ||b||^2 = b^t * b = x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = x^t * x = ||x||^2\]

Abrindo também a equação de ||Q*x||^2, e usando do fato comentado acima de que Q^t * Q = I, temos que:
\[ ||Q * x||^2 = (Q * x)^t * (Q*x) = x^t * x = x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = ||x||^2\]

Portanto, mostramos que de fato,

\[ ||Q * x||^2 = ||x||^2\]

Mais detalhes sobre os procedimentos feitos ou caso esteja mais interessado em algum aspecto teórico da resolução, olhar página 197 desse mesmo livro ("Linear Algebra and it's applications - fourth edition").

...