Note que o exercício não especifica se o valor informado para \( s^2 \) refere-se à variância amostral viesada ou ao estimador não viesado da variância. Seguiremos o padrão utilizado no livro do John Rice, em que \( s^2 \) refere-se ao estimador não viesado da variância, ou seja:
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 =25 \)
Abordaremos ao final da questão as adaptações necessárias caso se deseje considerar \( s^2 \) como a variância amostral viesada.
Sabemos que para uma amostra i.i.d. de uma distribuição normal, \( \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \) tem distribuição t-Student, com n-1 graus de liberdade (para prova detalhada, ver o Corolário B da Seção 6.3 do livro de John Rice). Considerando a simetria da distribuição t-Student, temos que:
\( P(-t_{n-1, \alpha/2} \leq \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} \leq t_{n-1, \alpha/2} ) = 1-\alpha \tag{1}\)
Onde \( 1-\alpha\) representa o intervalo de confiança e \(t_{n-1, \alpha/2} \) é obtido da fdp da distribuição t-Student, com \(n-1\) graus de liberdade, em que \( \alpha/2\) é a área à direita de \(t_{n-1, \alpha/2} \).
Rearranjando os termos:
\( P( \bar{X} - \frac{s}{\sqrt{n}}. t_{n-1, \alpha/2} \leq \mu \leq \bar{X} + \frac{s}{\sqrt{n}}. t_{n-1, \alpha/2} ) =1-\alpha \tag{2}\)
Consultando a tabela da distribuição t-Student disponível no Apêndice B do livro, encontramos que \( t_{n-1, \alpha/2} = 1,761\), para n=15 e \( \alpha/2=0,05 \). Substituindo os valores na equação (2), juntamente com \( s\) e \( n\) fornecidos no enunciado, obtém-se:
\( P( 7,727 \leq \mu \leq 12,273 ) \approx 90\% \)
O intervalo de confiança de 90% para \( \mu \) é, portanto, (7,727; 12,273).
Para encontrarmos o intervalo de confiança para a variância populacional, usaremos o fato de que para uma amostra i.i.d. de uma distribuição normal, \( \frac{(n-1).s^2}{\sigma^2} \) tem distribuição qui-quadrada, com n-1 graus de liberdade (para prova detalhada, ver o Teorema B da Seção 6.3 do livro de John Rice).
Note que devemos ter um pouco mais de cuidado no equacionamento do que no cálculo do intervalo de confiança da média, uma vez que a distribuição qui-quadrada não é simétrica como a distribuição t-Student. Temos portanto que:
\( P( \chi^2_{n-1,1-\alpha/2} \leq \frac{(n-1).s^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{n-1,\alpha/2}) = 1-\alpha \tag{3}\)
Onde: \( \chi^2_{n-1,1-\alpha/2} \) representa o valor de \( \chi^2\) para \( (n-1)\) graus de liberdade, com àrea \( \alpha/2\) à esquerda de \( \chi^2\). Analogamente, \( \chi^2_{n-1,\alpha/2} \) representa o valor de \( \chi^2\) para \( (n-1)\) graus de liberdade, com àrea \( \alpha/2\) à direita de \( \chi^2\).
Rearranjando os termos:
\( P\left( \frac{(n-1).s^2}{\chi^2_{n-1,\alpha/2}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1).s^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}} \right) =1-\alpha \tag{4}\)
Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado disponível no Apêndice B do livro, encontramos que, para \( \alpha=10\%\) e \(n=15\):
\( \chi^2_{n-1,1-\alpha/2} =6,57 \)
\( \chi^2_{n-1,\alpha/2} =23,68\)
Substituindo os valores na equação (4), juntamente com \( s\) e \( n\) fornecidos no enunciado, obtém-se:
\( P\left(14,780 \leq \sigma^2 \leq 53,272 \right) =90\% \)
O intervalo de confiança de 90% para \( \sigma^2 \) é, portanto, (14,780; 53,272).
Nota
No caso em que se considera \( s^2\) como sendo a variância amostral viesada como no livro do Stachursky, seriam necessárias algumas adaptações à solução.
No caso da média, \( \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n-1}} \) tem distribuição t-Student, com n-1 graus de liberdade e no caso da variância, \( \frac{n.s^2}{\sigma^2} \) tem distribuição qui-quadrada com n-1 graus de liberdade (para mais detalhes, ver fato 10.1.1 e o exemplo 9.1.4 do livro do Stachursky). Dessa forma, as equações (1) e (3) devem ser reescritas, respectivamente, como:
\( P(-t_{n-1, \alpha/2} \leq \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n-1}} \leq t_{n-1, \alpha/2} ) = 1-\alpha \tag{1´}\)
\( P( \chi^2_{n-1,1-\alpha/2} \leq \frac{n.s^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{n-1,\alpha/2}) = 1-\alpha \tag{3´}\)