ITEM A:
O conjunto \(V\) pode ser assim representado:
\[V = \{A \in M_n(R)/ a_{n+1-i, n+1-j} = a_{ij}\}\]
Para verificar se a soma dos elementos de \(V\) esta definida em \(V\), deve-se primeiramente tomar dois de seus elementos \(X,Y \in V\) e calcular sua soma \(Z\).
Os elementos de \(Z\) podem ser assim descritos para \(i,j \in 1,...,n\):
\[z_{ij} = x_{ij}+y_{ij}\]
De forma equivalente, o elemento \(z_{n+1-i, n+1-j}\) poderia ser assim calculado:
\[z_{n+1-i, n+1-j} = x_{n+1-i, n+1-j} + y_{n+1-i, n+1-j} \]
Acontece que os elementos \(x_{n+1-i, n+1-j}\) e \(y_{n+1-i, n+1-j}\) pertencem a matrizes do conjunto \(V\), e portanto:
\[x_{n+1-i, n+1-j}=x_{ij}\]\[y_{n+1-i, n+1-j}=y_{ij}\]
O que permite constatar que:
\[z_{n+1-i, n+1-j} = x_{n+1-i, n+1-j} + y_{n+1-i, n+1-j} = x_{ij}+y_{ij} = z_{ij}\]
Ou seja, que \(z_{n+1-i, n+1-j} = z_{ij}\) para todo \(i,j \in 1,...,n\), e que \(Z \in V\).
Agora, para verificar a multiplicação por escalares reais, deve-se tomar dois elementos: \(X \in V\) e \(\lambda \in R\), e calcular o produto \(W\) dos dois.
Os elementos de \(W\) podem ser assim descritos para \(i,j \in 1,...,n\):
\[w_{ij} = \lambda x_{ij}\]
De forma equivalente, o elemento \(w_{n+1-i, n+1-j}\) poderia ser assim calculado:
\[w_{n+1-i, n+1-j} = \lambda x_{n+1-i, n+1-j} \]
Acontece que o elemento \(x_{n+1-i, n+1-j} \in V\), e portanto:
\[x_{n+1-i, n+1-j}=x_{ij}\]
O que permite constatar que:
\[w_{n+1-i, n+1-j} = \lambda x_{n+1-i, n+1-j} = \lambda x_{ij} = w_{ij}\]
Ou seja, que \(w_{n+1-i, n+1-j} = w_{ij}\) para todo \(i,j \in 1,...,n\), e que portanto \(W \in V\).