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Seja \(V\) o conjunto das matrizes \(A \in M_n(R)\) tal que \(a_{n+1-i, n+1-j} = a_{ij}\) para \(i,j \in {1,..,n}\).

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perguntada Abr 8 em Economia por João Isidio (26 pontos)  
editado Mai 25 por João Isidio

Seja \(V\) o conjunto das matrizes \(A \in M_n(R)\) tal que

\[a_{n+1-i, n+1-j} = a_{ij}\]

para \(i,j \in {1,..,n}\).

a) Prove que \(V\) é um subespaço de \(M_n(R)\).

b) Encontre a dimensão de \(V\).

Exercício 10 da Seção 4.5.1 do livro "Essential Linear Algebra with Applications" de Titu Andreescu

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2 Respostas

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respondida Abr 8 por João Isidio (26 pontos)  
editado Mai 25 por João Isidio

ITEM A:

O conjunto \(V\) pode ser assim representado:

\[V = \{A \in M_n(R)/ a_{n+1-i, n+1-j} = a_{ij}\}\]

Para verificar se a soma dos elementos de \(V\) esta definida em \(V\), deve-se primeiramente tomar dois de seus elementos \(X,Y \in V\) e calcular sua soma \(Z\).

Os elementos de \(Z\) podem ser assim descritos para \(i,j \in 1,...,n\):

\[z_{ij} = x_{ij}+y_{ij}\]

De forma equivalente, o elemento \(z_{n+1-i, n+1-j}\) poderia ser assim calculado:

\[z_{n+1-i, n+1-j} = x_{n+1-i, n+1-j} + y_{n+1-i, n+1-j} \]

Acontece que os elementos \(x_{n+1-i, n+1-j}\) e \(y_{n+1-i, n+1-j}\) pertencem a matrizes do conjunto \(V\), e portanto:

\[x_{n+1-i, n+1-j}=x_{ij}\]\[y_{n+1-i, n+1-j}=y_{ij}\]

O que permite constatar que:

\[z_{n+1-i, n+1-j} = x_{n+1-i, n+1-j} + y_{n+1-i, n+1-j} = x_{ij}+y_{ij} = z_{ij}\]

Ou seja, que \(z_{n+1-i, n+1-j} = z_{ij}\) para todo \(i,j \in 1,...,n\), e que \(Z \in V\).

Agora, para verificar a multiplicação por escalares reais, deve-se tomar dois elementos: \(X \in V\) e \(\lambda \in R\), e calcular o produto \(W\) dos dois.

Os elementos de \(W\) podem ser assim descritos para \(i,j \in 1,...,n\):

\[w_{ij} = \lambda x_{ij}\]

De forma equivalente, o elemento \(w_{n+1-i, n+1-j}\) poderia ser assim calculado:

\[w_{n+1-i, n+1-j} = \lambda x_{n+1-i, n+1-j} \]

Acontece que o elemento \(x_{n+1-i, n+1-j}\) da matriz \(X\) pertence a \(V\), e portanto:

\[x_{n+1-i, n+1-j}=x_{ij}\]

O que permite constatar que:

\[w_{n+1-i, n+1-j} = \lambda x_{n+1-i, n+1-j} = \lambda x_{ij} = w_{ij}\]

Ou seja, que \(w_{n+1-i, n+1-j} = w_{ij}\) para todo \(i,j \in 1,...,n\), e que portanto \(W \in V\).

comentou Mai 21 por Mateus Hiro Nagata (26 pontos)  
Muito boa a resposta. Creio que o ponto forte dessa resolução é a organização. Todavia, eu queria apontar que \(x_{n+1-i, n+1-j} \in V \) seria equivocado e, ao invés disso eu proponho a substituição abaixo, espero que não esteja equivocado em apontar essa proposta.

"Acontece que o elemento \(x_{n+1-i, n+1-j}  \) da matriz X pertence a \( V\), e portanto..."

Mas acho que esse problema não desmerece nem um pouco a resposta do João que é de altíssima qualidade.
comentou Mai 25 por João Isidio (26 pontos)  
Sua constatação foi perfeita Matheus. Já fiz a alteração no texto. Obrigado.
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respondida Mai 12 por João Isidio (26 pontos)  

ITEM B:

Para construir a intuição, vamos verificar uma matriz de \(V\) para quando \(n=2\):

\[\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{11} \\ \end{array} \right]\]

Essa matriz poderia ser expressa da seguinte forma:

\[\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{11} \\ \end{array} \right] = a_{11}\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] + a_{12}\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right] \]

Como as matrizes \(\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right]\) e \(\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right]\) são LI´s, afinal:

\[a_{11}\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] + a_{12}\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right] = 0 \ \Leftrightarrow a_{11}=a_{12}=0 \]

E geram os elementos de \(V_2\) (\(V\) para quando \(n=2)\). Temos que elas formam uma base, de tal sorte que \(dimV_2 = 2\).

Vamos então verificar uma matriz de \(V\) para quando \(n=3\):

\[\left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{21} \\ a_{13} & a_{12} & a_{11} \\ \end{array} \right]\]

Para fins de notação, consideram-se aqui as matrizes canônicas \(E_{ij}\) como aquelas cujo os ij-ésimos termos assumem valor 1 e os demais valor 0. De forma que a matriz pode ser assim expressa:

\[a_{11}(E_{11}+E_{33}) + a_{12}(E_{12}+E_{32})+a_{13}(E_{13}+E_{31}) + a_{21}(E_{21}+E_{23})+ a_{22}E_{22}\]

Portanto temos o seguinte conjunto de matrizes LI´s (é fácil notar que para se atingir a solução nula deve-se ter \(a_{11} = a_{12} = a_{13} = a_{21} = a_{22} = 0\)) que geram \(V_3\):

\[\{E_{11}+E_{33}, E_{12}+E_{32}, E_{13}+E_{31}, E_{21}+E_{23}, E_{22}\}\]

Sendo então uma base para \(V_3\) de tal forma que a \(dimV_3 = 5\).

Mantendo-se esse padrão, é perceptível que para uma matriz de ordem \(n\) o número de termos distintos é da seguinte ordem:

\[ D(n) = \begin{cases} \frac{n^2}{2}, & \frac{n^2}{2} \in N \\ \frac{n^2+1}{2}, & \frac{n^2}{2} \notin N \end{cases} \]

O que equivale ao número de escalares necessários para representar as matrizes de \(V_n\) na forma:

Se \(n\) par: \( \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^{\frac{n}{2}} a_{ij}A_{ij} \) (A)

Se \(n\) ímpar: \( \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} a_{ij}A_{ij} + \sum_{j=1}^{\frac{n+1}{2}} \sum_{i=\frac{n+1}{2}}^{\frac{n+1}{2}} a_{ij}A_{ij} \) (B)

Onde, para \(n\) par:

\[ A_{ij} = E_{ij}+E_{n+1-i, n+1-j} \]

E \(n\) ímpar:

\[ A_{ij} = \begin{cases} E_{ij}, & i = j = \frac{n+1}{2} \\ E_{ij}+E_{n+1-i, n+1-j}, & c.c. \end{cases} \]

Sabemos portanto que as matrizes \(A_{ij} \in V\). Então é trivial, pelas equações (A) e (B), que o span das matrizes \(A_{ij}\) é \(V\). Ademais, as mesmas equações (A) e (B) só terão solução nula quando cada um dos escalares forem nulos.

Sendo assim, a dimensão de \(V\) será exatamente igual ao número de escalares distintos para se calcular uma matriz de V na forma A ou B, ou seja:

\[dimV=D(n) = \begin{cases} \frac{n^2}{2}, & \frac{n^2}{2} \in N \\ \frac{n^2+1}{2}, & \frac{n^2}{2} \notin N \end{cases}\]

comentou Mai 22 por Mateus Hiro Nagata (26 pontos)  
Essa resposta também está incrivelmente bem feita. Acho que o fluxo da resposta, começando da intuição da matriz \(2 \times 2 \) e repetindo para exemplos mais complicados genial. Tenho uma dúvida que eu tentei ler e reler e não consegui sanar é de como você encontrou os números \( D(n) \). Eu não consegui pegar a lógica por trás.


Só uma correção (ortográfica) para deixar a resposta ainda melhor é substituir no texto a porção "E geram os elementos de \(V2\) (\(V \) para quando n=2)" por "E geram os elementos de \(V2\) (\(V_n \) para quando n=2)."

Mais uma vez, essa resposta está fenomenal. Parabéns!
comentou Mai 24 por danielcajueiro (5,501 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão. A referencia para o livro pode vir na caixa de texto abaixo.
comentou Mai 25 por João Isidio (26 pontos)  
A alteração foi realizada.
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