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1- Cap 9 - Exercício 23 - John Rice

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perguntada Abr 9 em Estatística por Bernardo Mendes (6 pontos)  

Suponha que o intervalo de confiança de 99% para a média \( \mu \) de uma distribuição normal é (-2,0 ; 3,0). Um teste de hipótese de \( H_0 : \mu = -3\) versus \(H_A : \mu \neq -3\) seria rejeitado ao nível de significância de .01?

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1 Resposta

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respondida Abr 9 por Bernardo Mendes (6 pontos)  
editado Abr 9 por Bernardo Mendes

O enunciado do exercício define a construção de um intervalo de confiança a partir de uma distribuição normal e não de uma distribuição \(t\). Dessa forma, partirei do pressuposto de que a variância \(\sigma^2\) é conhecida.

A partir disso, basta checar a dualidade dos intervalos de confiança e testes de hipótese, isto é:

Suponha \(X_1, ..., X_n \) uma amostra aleatória de uma distribuição normal de média \( \mu\) desconhecida e variância \(\sigma^2\) conhecida. Queremos testar duas hipóteses:

\(H_0: \mu = \mu_0\)
\(H_A: \mu \neq \mu_0\)

Considere um teste \(| \bar{X} - \mu_0| > x_0\) que é rejeitado à nível específico \( \alpha\). Onde \(x_0\) é determinado de tal forma que \(P(| \bar{X} - \mu_0| > x_0) = \alpha\). Tome \(x_0 = \sigma_\bar{X} z (\frac{\alpha}{2})\). Aqui \(\sigma_\bar{X} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Ou seja, rejeitamos \(H_0\) quando \(P(| \bar{X} - \mu_0| > \sigma_\bar{X} z (\frac{\alpha}{2}))=\alpha\).

Portanto, decidimos não rejeitar \(H_0\) quando \(| \bar{X} - \mu_0| < \sigma_\bar{X} z (\frac{\alpha}{2})\). Ou seja:

\(-\sigma_\bar{X} z (\frac{\alpha}{2}) < \bar{X} - \mu_0 < \sigma_\bar{X} z (\frac{\alpha}{2})\)

\(\bar{X} -\sigma_\bar{X} z (\frac{\alpha}{2}) < \mu_0 < \bar{X} +\sigma_\bar{X} z (\frac{\alpha}{2})\)

Definimos um intervalo de confiança de \(100(1- \alpha)\)% para \(\mu_0\) como:

\([\bar{X} -\sigma_\bar{X} z (\frac{\alpha}{2}) , \bar{X} +\sigma_\bar{X} z (\frac{\alpha}{2})]\)

Comparando a região de aceitação do teste e o intervalo de confiança, percebemos que \(\mu_0\) está no intervalo de confiança para \(\mu\), se e somente se, o teste de hipótese falha em rejeitar \(H_0\). Em outras palavras, o intervalo de confiança consiste precisamente em todos os valores de \(\mu_0\) os quais a hipótese nula \(H_0: \mu = \mu_0\) é não rejeitada à significância proposta.

No nosso problema, o intervalo de confiança construído com \(\alpha = 1\)% resultou em \([-2,0 ; 3,0]\). A proposta de teste é testar uma hipótese nula tal que \(\mu = -3\) à uma significância idêntica a que foi utilizada para construir o intervalo de confiança, isto é, \(\alpha = 1\)%.

Pela dualidade dos testes e intervalos de confiança que foi provada acima e tendo em vista que \( - 3 \notin [-2;3]\) podemos afirmar que a hipótese nula é rejeitada à significância de \(1\)%

comentou Abr 9 por Fabio Fujita (6 pontos)  
O conceito de dualidade entre intervalos de confiança e testes de hipótese explorado pelo Bernardo em sua solução é a base para o Teorema A do Capítulo 9 do livro de John Rice.

Segundo o teorema, um intervalo de confiança de \( 100.(1-\alpha)\%\) para um parâmetro \( \theta \) consiste em todos os valores de \( \theta_0 \) para os quais a hipótese de que \( \theta = \theta_0 \) não será rejeitada ao nível de significância  \( \alpha \). Em outras palavras, caso o parâmetro \( \theta_0 \) esteja fora do intervalo de confiança de \( 100.(1-\alpha)\%\) para  \( \theta \), é rejeitada a hipótese de que \( \theta = \theta_0 \) ao nível de significância \( \alpha \).

No caso específico do exercício, como -3 está fora do intervalo de confiança de 99% para a média dado por \( (-2, +3) \), rejeita-se a hipótese de que \( \mu=-3\) ao nível de significância de 1%.
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