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Suponha que \(X\) tem a densidade: \(f(x)=\frac{1+\alpha x}{2}\), com \(-1\le x \le 1\), \(-1\le \alpha \le 1\) Determine \(E(X)\) e \(Var(X)\)

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perguntada Abr 10 em Estatística por Alan Antunes Rosendo (26 pontos)  
editado Mai 15 por Alan Antunes Rosendo

Suponha que \(X\) tem a densidade: \(f(x)=\frac{1+\alpha x}{2}\), com \(-1\le x \le 1\), \(-1\le \alpha \le 1\)
Determine \(E(X)\) e \(Var(X)\)

Acrescentado posteriormente:
Exercício 5 do capítulo 4 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice.

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1 Resposta

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respondida Abr 10 por Alan Antunes Rosendo (26 pontos)  
editado Mai 24 por Alan Antunes Rosendo

Pela definição de \(E(X)\) e \(Var(X)\), em funções de densidade contínua, temos:
\[E(X)=\int_{-\infty }^{\infty} xf(x)\ dx\]
\[Var(X)=\int_{\infty}^{\infty} (x-E(X))^2f(x)\ dx\]
Calculando cada termo separadamente, temos:
\[E(X)=\int_{-1}^{1} xf(x)\ dx=\int_{-1}^{1} x(\frac{1+\alpha x}{2}) dx=\] \[ \int_{-1}^{1} \frac{x+\alpha x^2}{2} dx=\bigg[ \frac{x^2}{4}+\frac{\alpha x^3}{6} \bigg]_{-1}^1=\]
\[=\bigg[ \frac{1}{4}+\frac{\alpha}{6}-\frac{1}{4}+\frac{\alpha}{6} \bigg]=\frac{\alpha}{3}\]

Calculando agora a variância:
\[Var(X)=\int_{-1}^{1} (x-E(X))^2f(x)\ dx=\int_{-1}^{1} \bigg(x-\frac{\alpha}{3}\bigg)^2f(x)\ dx\]
\[=\int_{-1}^{1} \bigg(x^2-\frac{2x\alpha}{3}+\frac{\alpha ^2}{9}\bigg)\bigg(\frac{1+\alpha x}{2}\bigg)\ dx=\] \[ \int_{-1}^{1} \frac{x^2+\alpha x^3}{2}-\frac{2x\alpha +2x^2\alpha ^2}{6}+\frac{\alpha ^2+\alpha ^3x}{18}\ dx\]
\[= \bigg[\frac{x^3}{6}+\frac{\alpha x^4}{8}-\frac{2x^2\alpha}{12}-\frac{2x^3\alpha ^2}{18}+\frac{x\alpha ^2}{18}+\frac{x^2\alpha ^3}{36}\bigg]_{-1}^{1}\]
\[= \bigg[\frac{1}{6}+\frac{\alpha}{8}-\frac{2\alpha}{12}-\frac{2\alpha ^2}{18}+\frac{\alpha ^2}{18}+\frac{\alpha ^3}{36}\bigg]\]\[-\bigg[\frac{-1}{6}+\frac{\alpha}{8}-\frac{2\alpha}{12}-\frac{2\alpha ^2}{18}+\frac{-\alpha ^2}{18}+\frac{\alpha ^3}{36}\bigg]=\]
\[= \bigg[\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{2\alpha ^2}{18}-\frac{2\alpha ^2}{18}+\frac{\alpha ^2}{18}+\frac{\alpha ^2}{18}\bigg]=\frac{3-\alpha ^2}{9}\]

Com isso, obtemos:
\[E(X)=\frac{\alpha}{3}\]
\[Var(X)=\frac{3-\alpha ^2}{9}\]

comentou Mai 16 por João Isidio (26 pontos)  
editado Mai 16 por João Isidio
Caro Alan,

Sua resolução está correta. Lhe alerto apenas para o fato de que algumas equações estão ultrapassando a margem direita e que por isso estão desaparecendo da área de visualização.

Abaixo um código em R para comparar os resultados do software com os por você alcançados. No caso em questão, defini \(\alpha = 0,6\).

O código mostra como podem ser definidas as funções e suas integrais para um intervalo específico. Não se está a afirmar aqui que está é a única forma de lidar com o problema no R. O procedimento aplicado aqui tem o único propósito de ser equivalente ao realizado no exercício.

Para replicar o exercício, basta copiar e colar o texto a seguir no rmarkdown.

```{r}
# Definindo a função de densidade do exercício, tendo o parâmetro "a" assumido 0.6 como default (caso se queira, basta substituir o argumento para outro valor).
a<- 0.6
density<- function(x, a = 0.6) (1+a*x)/2

# O Termo da integral da função esperança é uma função. Trata-se do produto entre função de densidade e x.
Et<- function(x) x*density(x)

# Esperança (valor) - Integral
e<- integrate(Et, lower = -1, upper = 1)
e

# Esperança (valor) - Fórmula
a/3

# O Termo da função variância é uma função. Trata-se do produto entre função de densidade e (x-E(x))^2.
Vart<- function(x) density(x)*(x-e$value)^2

# Variância - Integral
integrate(Vart, lower = -1, upper = 1)

# Variância - Fórmula
(3-a^2)/9
```
comentou Mai 23 por danielcajueiro (5,581 pontos)  
Alan, algumas linhas estão ultrapassando o limite de área visível.
comentou Mai 24 por Alan Antunes Rosendo (26 pontos)  
Modifiquei as linhas para não ultrapassar o limite de área visível.
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