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Suponha que \(X\) tem a densidade: \(f(x)=\frac{1+\alpha x}{2}\), com \(-1\le x \le 1\), \(-1\le \alpha \le 1\) Determine \(E(X)\) e \(Var(X)\)

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perguntada Abr 10 em Estatística por Alan Antunes Rosendo (1 ponto)  

Suponha que \(X\) tem a densidade: \(f(x)=\frac{1+\alpha x}{2}\), com \(-1\le x \le 1\), \(-1\le \alpha \le 1\)
Determine \(E(X)\) e \(Var(X)\)

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1 Resposta

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respondida Abr 10 por Alan Antunes Rosendo (1 ponto)  

Pela definição de \(E(X)\) e \(Var(X)\), em funções de densidade contínua, temos:
\[E(X)=\int_{-\infty }^{\infty} xf(x)\ dx\]
\[Var(X)=\int_{\infty}^{\infty} (x-E(X))^2f(x)\ dx\]
Calculando cada termo separadamente, temos:
\[E(X)=\int_{-1}^{1} xf(x)\ dx=\int_{-1}^{1} x(\frac{1+\alpha x}{2}) dx=\int_{-1}^{1} \frac{x+\alpha x^2}{2} dx=\bigg[ \frac{x^2}{4}+\frac{\alpha x^3}{6} \bigg]_{-1}^1=\]
\[=\bigg[ \frac{1}{4}+\frac{\alpha}{6}-\frac{1}{4}+\frac{\alpha}{6} \bigg]=\frac{\alpha}{3}\]

Calculando agora a variância:
\[Var(X)=\int_{-1}^{1} (x-E(X))^2f(x)\ dx=\int_{-1}^{1} \bigg(x-\frac{\alpha}{3}\bigg)^2f(x)\ dx\]
\[=\int_{-1}^{1} \bigg(x^2-\frac{2x\alpha}{3}+\frac{\alpha ^2}{9}\bigg)\bigg(\frac{1+\alpha x}{2}\bigg)\ dx=\int_{-1}^{1} \frac{x^2+\alpha x^3}{2}-\frac{2x\alpha +2x^2\alpha ^2}{6}+\frac{\alpha ^2+\alpha ^3x}{18}\ dx\]
\[= \bigg[\frac{x^3}{6}+\frac{\alpha x^4}{8}-\frac{2x^2\alpha}{12}-\frac{2x^3\alpha ^2}{18}+\frac{x\alpha ^2}{18}+\frac{x^2\alpha ^3}{36}\bigg]_{-1}^{1}\]
\[= \bigg[\frac{1}{6}+\frac{\alpha}{8}-\frac{2\alpha}{12}-\frac{2\alpha ^2}{18}+\frac{\alpha ^2}{18}+\frac{\alpha ^3}{36}\bigg]-\bigg[\frac{-1}{6}+\frac{\alpha}{8}-\frac{2\alpha}{12}-\frac{2\alpha ^2}{18}+\frac{-\alpha ^2}{18}+\frac{\alpha ^3}{36}\bigg]\]
\[= \bigg[\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{2\alpha ^2}{18}-\frac{2\alpha ^2}{18}+\frac{\alpha ^2}{18}+\frac{\alpha ^2}{18}\bigg]=\frac{3-\alpha ^2}{9}\]

Com isso, obtemos:
\[E(X)=\frac{\alpha}{3}\]
\[Var(X)=\frac{3-\alpha ^2}{9}\]

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