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Compare a função de distribuição de uma Poisson e a aproximação normal para \(\lambda=10,20,40\)

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perguntada Abr 10 em Estatística por Samuel Ceccon (6 pontos)  
editado Abr 11 por Samuel Ceccon

Exercício 8 do capítulo 5 do livro Mathematical Statistics and Data Analysis do John Rice

Compare a função de distribuição de Poisson e aproximação normal para

(a) \(\lambda=10\)

(b) \(\lambda=20\)

(c) \(\lambda=40\).

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1 Resposta

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respondida Abr 10 por Samuel Ceccon (6 pontos)  
editado Abr 11 por Samuel Ceccon

Seja \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots\) uma sequência com \(\lambda_n\to\infty\) e \(X_n\) sequência de variáveis aleatórias com distribuição Poisson com parâmetro \(\lambda\).

Sabemos que \(\mathbb{E}[X_n]=var[X_n]=\lambda_n\)
Como queremos aproximar as duas distribuições, elas devem ter a mesma média e variância.
Vamos padrozinar a variável aleatória

\(Z_n=\frac{X_n-\mathbb{E}[X_n]}{\sqrt{var[X_n]}}=\frac{X_n-\lambda_n}{\sqrt{\lambda_n}}\)

Então temos \(\mathbb{E}[Z_n]=0,var[Z_n]=1\)

Vamos mostrar agora que a Função Geradora de Momento (MGF) de \(Z_n\) converge para a MGF de uma normal padrão \(N(0,1)\).

A MGF de \(X_n\) é:
\(M_{x_n}(t)=e^{\lambda n(e^t-1)}\)
e a MGF de \(Z_n\) é
\(M_{Z_n}(t)=e^{-t\sqrt{\lambda n}}M_{X_n}(\frac{t}{\sqrt{\lambda_n}})\) \(=e^{-t\sqrt{\lambda_n}}e^{\lambda_n(e^t/\sqrt{\lambda_n}-1})\)
\(log\,M_{Z_n}(t)=-t\sqrt{\lambda_n}+\lambda_n(e^{t/\sqrt{\lambda_n}}-1)\)

Usando a expansão \(e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\), temos

\(lim_{n\to\infty}log\,M_{Z_n}(t)=\frac{t^2}{2}\)

\(lim_{n\to\infty}M_{Z_n}(t)=e^{t^2/2}\)

que é a função geradora de momento de uma normal padronizada.

Portanto provamos que uma Poisson converge em distributição para uma Normal padrão conforme \(\lambda\) cresce.

Conforme solicitado pelo exercício, nos casos de \(\lambda=10,20,40\) vamos mostrar de forma gráfica como se aproxima de uma distribuição normal conforme \(\lambda\) cresce.
Para isso utilizaremos as bibliotecas seaborn e scipy no Python.

import seaborn as sns
from scipy.stats import poisson

for i in range(10,40,10):
    data_poisson = poisson.rvs(mu=i, size=10000)
    ax = sns.distplot(data_poisson,
                  bins=100,
                  kde=False)

A imagem será apresentada aqui.

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