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Uma moeda é jogada 10 vezes para testar a hipótese de que a probabilidade de sair cara é\(\frac{1}{2}\) versus a hipótese alternativa de que não é \(\frac{1}{2}\)

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perguntada Abr 14 em Estatística por Fábio Springer (1 ponto)  

Uma moeda é jogada 10 vezes para testar a hipótese de que a probabilidade de sair cara é
\(\frac{1}{2}\) versus a hipótese alternativa de que não é\( \frac{1}{2}\). O teste rejeita a hipótese se saírem 0 caras ou 10 caras.

a)Qual o nível de significância do teste?

b)Se a probabilidade de cara for 0.1 qual é poder do teste?

Capitúlo 9, exercício 1 do livro “Mathematical Statistics and Data Analysis – John A Rice”.

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1 Resposta

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respondida Abr 14 por Fábio Springer (1 ponto)  

a) Sabemos que \(\alpha\) é a o nível de significância da probabilidade do erro de tipo 1, isso é a probabilidade de rejeitar \(H_0\) dado que \(H_0\) é verdadeira. Então temos
\[P(Erro.do.tipo.1) = \alpha\]
Estamos interessados em encontrar \(Pr_0(X=0|H_0 )+Pr_0(X=10|H_0 )\) Percebemos que esse experimento de jogar 10 moedas pode ser descrito como uma binomial. Seja X o numero de caras no experimento, então X ~ (10, 0.5) sob a hipótese nula. Podemos agora reescrever \(Pr_0(X=0|H_0 )+Pr_0(X=10|H_0 )\) em termos da binomial.
\[(Pr_0(X=0|H_0 )+Pr_0(X=10|H_0 ) = \\\binom{10}{0}(0.5)^0(0.5)^{10} +\binom{10}{10}(0.5)^{10}(0.5)^{0} = 0.002\].

b) Se a probabilidade de sair cara for 0.1, então o poder do teste será obter 0 ou 10 caras dado que a hipótese alternativa é verdadeira. Basta então resolver a hipótese alternativa usando a binomial igual fizemos na letra a.
\[1 -\beta =\\ \binom{10}{0}(0.1)^0(0.9)^{10} +\binom{10}{10}(0.1)^{10}(0.9)^{0} = 0.348\]

comentou Abr 21 por Samuel Ceccon (11 pontos)  
Achei bem legal sua resolução, Fábio.
Algo que eu pensei lendo ela foi em utilizar uma função no Python que calcule a binomial, assim poderíamos testar para casos diferentes com maior facilidade.
Para isso acho que o ideal é usar a biblioteca scipy.stats

    import scipy.stats as stats
    bin = stats.binom.pmf(k,n,p)

Nesse caso em específico fazemos k = 10, n = 0, p = 0.5.
Abs!
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