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Como resolver o Exercício 1 - Cap.6 - John A. Rice - Mathematical Statistics and Data Analysis, 3ed.?

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perguntada Abr 15 em Estatística por João Coutinho (21 pontos)  

Temos que provar a proposição A da seção 6.2 do livro.
A proposição segue:
A função densidade da distribuição t com n graus de liberdade é:
\[ f(t)= \frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi}\Gamma(n/2)} \left(1+\frac{t^2}{n}\right) ^\frac{-(n+1)}{2} \]

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1 Resposta

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respondida Abr 17 por João Coutinho (21 pontos)  

Bem, sabemos que se \( Z \sim N(0,1) \) e \( U \sim \chi ^2_n\) com Z e U independentes, então a distribuição de \(\frac{Z}{\sqrt{U/n}}\) é chamada de distribuição t com n graus de liberdade.
Como \(U \sim \chi ^2_n\) então a função densidade de U é dada por
\[ f_U(u)=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \Gamma(n/2)} u^{\left(\frac{n}{2}-1\right)} e^{\frac{-u}{2}} ; u>0 \]
Se Fazemos: \(\sqrt{\frac{U}{n}}=X\) \(\implies\) \(F_X(x)=P(X\leq x)=P(U\leq nx^2)=F_U(nx^2)\)
Ora, para achar a densidade de X, diferenciamos a função acima.
Como \(F'(x)=f(x)\), pela regra da cadeia temos:
\[ f_X(x) =(2nx)*f_U(nx^2) = (2nx)f_U(nx^2) = (2nx)\frac{1}{2^\frac{n}{2} \Gamma(n/2)} (nx^2)^{\frac{n}{2}-1} e^{\frac{-(nx^2)}{2}} \]
Como \(Z\sim N(0,1)\) \(\implies\) \(f_Z(z)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}} e^\frac{-z^2}{2} \)
Fazemos \(T=\frac{Z}{X}\)
Como Z e U são independentes, então Z e X também serão.
A função densidade do quociente de duas variáveis independentes é dada por:
\[ f_T(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty \lvert x \rvert f_X(x) f_Z(xt) dx =\int\limits_{-\infty}^\infty \lvert x \rvert \Big[ (2nx)\frac{1}{2^\frac{n}{2} \Gamma(n/2)} (nx^2)^\left(\frac{n}{2}-1\right) e^{\frac{-(nx^2)}{2}} \Big] \left[\frac {1}{\sqrt{2\pi}} e^\frac{-z^2}{2} \right]dx \]
Pela simetria do integrando em relação a zero, temos:
\[ f_T(t) = 2 \int\limits_{0}^\infty x \bigg[ (2nx)\frac{1}{2^\frac{n}{2} \Gamma(n/2)} (nx^2)(\frac{n}{2}-1) e^{\frac{-(nx^2)}{2}} \bigg] \left[\frac {1}{\sqrt{2\pi}} e^\frac{-z^2}{2} \right]dx \]
\[ f_T(t) = \frac {2n^\frac{n}{2}}{2^\frac{n}{2}\Gamma(n/2)\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^\infty x^n e^\frac{-x^2n-x^2t^2}{2}dx \]
Agora usando o fato de \(\int\limits_{0}^\infty x^{n-1} e^{-ax} = \frac{\Gamma n}{a^m}\) com \(a=\frac{n+t^2}{2} \) \(m=\frac{n+1}{2}\), chegamos a:
\[ f_T(t)= \frac {n^\frac{n}{2}}{2^\frac{n}{2}\Gamma(n/2)\sqrt{2\pi}} \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{(\frac{n+t^2}{2})^{\frac{n+1}{2}}} \]
\[ f_T(t)= \frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})n^{\frac{n}{2}}}{2^\frac{n+1}{2}\Gamma (n/2) \sqrt{\pi} (\frac{n+t^2}{2})^\frac{n+1}{2}} \]
Usando n/2 como um simplificador, chegamos a:
\[ \begin{align} f_T(t) &= \frac{\Gamma (\frac{n+1}{2}) n^{n/2}}{2^{(n+1)/2}\sqrt{\pi}[\frac{n}{2}(1+\frac{t^2}{n})]^{\frac{n+1}{2}}} &=\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})n^{\frac{n}{2}-\frac{n+1}{2}}}{2^{\frac{n+1}{2}\frac{n+1}{2}}\Gamma (n/2) \sqrt{\pi} (1+\frac{t^2}{n})^\frac{n+1}{2}} \end{align} \]
\[ f_T(t)=\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})^{\frac{-1}{2}}}{\Gamma (n/2) \sqrt{\pi}} \left(1+\frac{t^2}{n}\right) ^\frac{-(n+1)}{2} \]
Por fim chegamos a:
\[ f_T(t)=\frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi}\Gamma(n/2)} \left(1+\frac{t^2}{n}\right) ^\frac{-(n+1)}{2} \]
Como queríamos mostrar.

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