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Estimadores: Método de Momentos e Verossimilhança

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perguntada Abr 16 em Estatística por Ricardo Nunes (21 pontos)  
editado Mai 24 por Ricardo Nunes

Cap. 8 - Exercício 5 - John Rice

Suponha que \(X\) é uma variável aleatória discreta com \(P(X=1)=\theta\) e \(P(X=2)=1-\theta\). Três observações independentes de \(X\) foram feitas: \(x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 2\).

a) Encontre o estimador de método de momentos de \(\theta\).
b) Qual a função de verossimilhança?
c) Qual é o estimador de máxima verossimilhança de \(\theta\) ?
d) Se \(\Theta\) tem uma distribuição anterior uniforme entre [0,1], qual é a densidade posterior?

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1 Resposta

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respondida Abr 16 por Ricardo Nunes (21 pontos)  

a) Vamos calcular a Esperança e igualar ao primeiro momento amostral para encontrar o estimador:
\[E(X) = \theta(1) + (1-\theta)(2) = 2 - \theta\]
O primeiro momento amostral é: \(\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\). Igualando temos:
\[2 - \theta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \Rightarrow \hat{\theta}_{mm} = 2 - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\]
Como \(x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 2\):
\[\hat{\theta}_{mm} = 2 - \frac{1+2+2}{3}= \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3} \]

b) A função de verossimilhança é dada por:
\[\mathcal L(\theta) = f(x_1,x_2,x_3|\theta) =P(X = x_1) \times P(X=x_2) \times P(X=x_3) \]
\[=f(1,2,2|\theta) = \theta\times(1-\theta)^2\]
Em que f é a função frequência da distribuição discreta.

c) O estimador de máxima verossimilhança é dado pelo valor de \(\theta\) que maximiza a função \(\mathcal L(\theta)\):
\[max_\theta( \theta\times(1-\theta)^2) \]
Que é o mesmo de maximizar \(max_\theta(ln(\theta) + 2ln(1-\theta))\):
\[\frac{\partial ln(\theta) + 2ln(1-\theta) }{\partial \theta} = \frac{1}{\theta}-\frac{2}{1-\theta} = 0\]
\[=\frac{(1-\theta)-2\theta}{\theta(1-\theta)} = \frac{1-3\theta}{\theta(1-\theta)} = 0\]
Como o denominador não pode ser 0, temos:
\[1-3\theta = 0 \Rightarrow \hat{\theta}_{mle} = \frac{1}{3}\]

d) Sabemos que a distribuição uniforme tem densidade:

\[f_\Theta (\theta) = \frac{1}{1-0} =1, 0<\theta<1\] </p>

enquanto a densidade posterior é:

\[f_{\Theta|X}(\theta |X) = \mathcal L(\theta) \times f_\Theta(\theta) = 1\times\theta(1-\theta)^2\]

Podemos identificar essa densidade posterior como a da distribuição Beta, que possuí f.d.p:
\[f(x,\alpha,\beta) = constante \times x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta -1}\]
Note que, nossa distribuição posterior segue a distribuição Beta com parâmetros \(x = \theta, \alpha = 2, \beta = 3\).

comentou Abr 18 por gustavobrangel (6 pontos)  
editado Abr 18 por gustavobrangel

Boa, Ricardo, suas contas bateram com as minhas, acho que tão certas

Se a gente plotar o gráfico da função verossimilhança, é possível verificar visualmente que \(1/3\) é realmente o valor de \(\theta\) que maximiza essa função.

A imagem será apresentada aqui.

comentou Mai 24 por danielcajueiro (5,581 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão. A referencia para o livro do só deve vir na caixa de texto abaixo.
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