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Mathematical Statistics and Data Analysis, John Rice - Cap 5 -Questão 27 . Prove que se\[a_n \rightarrow \ a \] ,então \[(1+(a_n/n)^n \rightarrow \ e^a .\]

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perguntada Abr 17 em Matemática por João Pedro Mussi (21 pontos)  
editado Abr 17 por João Pedro Mussi
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1 Resposta

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respondida Abr 17 por João Pedro Mussi (21 pontos)  

Primeiramente pelo enunciado é possível interpretar que \[lim_{n \rightarrow\ \infty} a_n= \ a\]
Dada a função, \[f(x) = (1+{ \frac{a_n}{n}})^n \] podemos reescrevê-la como:\[e^{lnf(x)} = e^{ln(1+{ \frac{a_n}{n}})^n}\]

Utilizando a propriedade do operador de logaritmo
\[e^{ln(1+{ \frac{a_n}{n}})^n} = e^{n*ln(1+{ \frac{a_n}{n}})}\]

Logo, a relação a seguir é possível \[lim_{n \rightarrow \ \infty}(1+{ \frac{a_n}{n}})^n = lim_{n \rightarrow \ \infty}e^{n*ln(1+{ \frac{a_n}{n}})}\]

É possível reescrever a expressão à direita como:
\[lim_{n \rightarrow \ \infty}e^{n*ln(1+{ \frac{a_n}{n}})} = lim_{n \rightarrow \ \infty}e^{\frac {ln(1+\frac{a_n}{n})}{\frac{1}{n}}} \]

Usando a regra de L'Hopital
\[lim_{n \rightarrow \ \infty}e^{\frac {ln(1+\frac{a_n}{n})}{\frac{1}{n}}} \rightarrow_{LH} \ lim_{n \rightarrow \ \infty} e^{\frac{{({-\frac{a_n}{n^2}})\frac{1}{1+\frac{a_n}{n}}}}{-\frac{1}{n^2}}}\]

Simplificando a equação temos que:
\[lim_{n \rightarrow \ \infty} e^{\frac{{({-\frac{a_n}{n^2}})\frac{1}{1+\frac{a_n}{n}}}}{-\frac{1}{n^2}}} = e^{lim_{n \rightarrow \ \infty}{\frac{a_n}{1+\frac{a_n}{n}}}} \]

Aplicando o limite tendendo para o infinito para \[a_n \rightarrow \ a\] e \[\frac{a_n}{n} \rightarrow \ 0\]

Chegamos ao resultado final de
\[e^{lim_{n \rightarrow \ \infty}{\frac{a_n}{1+\frac{a_n}{n}}}} \rightarrow\ e^a\]

Logo, podemos concluir que :
\[lim_{n \rightarrow \ \infty}(1+{ \frac{a_n}{n}})^n \rightarrow\ e^a\]

comentou Abr 21 por Bernardo Mendes (11 pontos)  
editado Abr 21 por Bernardo Mendes

Boa solução passo a passo do colega! A demonstração está correta e acredito que não exista muito o que agregar nesse caso. Uma forma mais direta de obter a solução é notar que o problema acima é um caso do seguinte limite: \(\lim_{n\to\infty} \Big(1 + \frac{a}{n} \Big)^n = e^a\), onde mudamos apenas o numerador da fração, mas a sequência definida no lugar dele converge para ele, isto é, \(a_n \rightarrow a\). Logo estamos tratando do caso que o passo final da demonstração do Teorema Central do Limite apresentado na página 184 do capítulo 5 do Livro Mathematical Statistics and Data Analysis (John A. Rice) trata. Lá temos:

\(M_{z_{n}}(t) = \Big( 1+ \frac{t^2} {2n} + \epsilon_n \Big)^n\)

\(\lim_{n\to\infty} M_{z_{n}}(t) = \lim_{n\to\infty} \Big( 1+ \frac{t^2} {2n} + \epsilon_n \Big)^n\)

usando a propriedade provada pelo colega e o fato de que \(\epsilon_n \rightarrow 0 \) quando \(n \rightarrow \infty\)

\(M_{z_{n}}(t) \rightarrow e^{\frac{t^2}{2}}\) quando \(n \rightarrow \infty\),

onde \(e^{\frac{t^2}{2}}\) é a função geradora de momentos da distribuição normal padrão

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