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Qual a função de frequência relacionada à probabilidade de dois garotos acertarem a primeira cesta em um jogo de basquete?

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perguntada Abr 17 em Estatística por Camilaspinto (21 pontos)  

Problema 14 do capítulo 2 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" do autor John Rice.
Enunciado do Problema:
Dois garotos jogam basquete da seguinte maneira. Eles se revezam lançando e param quando uma cesta é feita. O jogador A vai primeiro e tem a probabilidade \(p_{1}\) de fazer cesta em qualquer lance. Jogador B, que lança em segundo, tem probabilidade \(p_{2}\) de fazer cesta. Os resultados das sucessivas tentativas são considerados independentes.
a) Ache a função de frequência para o número total de tentativas.
b) Qual a probabilidade do jogador A ganhar?

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1 Resposta

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respondida Abr 17 por Camilaspinto (21 pontos)  

R.: a) O número de tentativas para acertar a cesta denota uma variável aleatória geométrica, uma vez que se busca modelar o número de eventos de Bernoulli até se obter o primeiro sucesso, no caso, até acertar a cesta.
A função de frequência de uma variável aleatória geométrica pode ser dada por:
\[P(X=k) = p * (1−p)^{k−1}, k=1,2,3,…\]
No exercício anunciado, considerando k o número total de tentativas, sejam realizadas pelo jogador A ou pelo jogador B, optou-se por dividir a função de frequência em duas, haja vista a probabilidade de sucesso diferenciada para cada jogador, \( p_{1}\) para o jogador A e \(p_{2}\) para o jogador B:
\[P(X=k) = p_{1} * (1−p_{1})^{\frac{(k−1)}{2}} * (1−p_{2})^{\frac{(k−1)}{2}}, k=1,3,5,7… (ímpar)\\ P(X=k) = p_{2} * (1−p_{1})^{\frac{k}{2}} * (1−p_{2})^{\frac{k}{2}-1}, k=2,4,6,8… (par)\]

Quando k for ímpar, significa que o jogador A acertou a primeira cesta. Até que esse tenha acertado, na jogada k, houve k-1 jogadas em que nem o jogador A nem o B acertaram. Considerando uma rodada como dois lançamentos, um de cada jogador, a probabilidade de fracasso de cada jogador é elevada por (k-1)/2, o número de rodadas até o jogador A acerta.

Exemplo 1. Seja k = 7, então:
\[P(X=7) = p_{1} * (1−p1)^{3} * (1−p_{2})^{3}\]

No exemplo 1, a probabilidade de acerto na sétima tentativa equivale à probabilidade do jogador A acertar a cesta após três rodadas sem nenhum dos dois jogadores acertarem.

Quando k for par, significa que o jogador B acertou a primeira cesta. Até que esse tenha acertado na tentativa k, o jogador A errou k/2 vezes e o jogador B errou (k/2)-1 vezes.

Exemplo 2. Seja k = 4, então:
\[P(X=4) = p_{2} * (1−p_{1})^{2} * (1−p_{2})^{1}\]

No exemplo 2, a probabilidade de acerto na quarta tentativa equivale à probabilidade do jogador B acertar a cesta após terceira tentativa dentre todas as tentativas (ou após uma rodada completa sem ambos acertarem e após o jogador A errar a tentativa da segunda rodada).

Segue abaixo código python com função para o cálculo da probabilidade, considerando a possibilidade de duas probabilidades diferentes, como dado no exercício, bem como a possibilidade de apenas uma probabilidade de sucesso (por default).

import matplotlib.pyplot as plt

def prob_primeira_cesta(k,p1,p2=0):
    if k<=0:
        prob = 'k deve ser maior que zero.'

    elif (k%2!=0) and (p2!=0):
        prob = p1 * (1-p1)**((k-1)/2) * (1-p2)**((k-1)/2)

    elif (k%2==0) and (p2!=0):
        prob = p2 * (1-p1)**(k/2) * (1-p2)**((k/2)-1)

    else:
        prob = p1 * (1-p1)**(k-1)
    return(prob)

if __name__ == '__main__':

    prob_impar = []
    prob_par = []

    for k in range(1,51,2):
        y_impar = prob_primeira_cesta(k,0.30, 0.70)
        y_par = prob_primeira_cesta(k+1,0.30, 0.70)
        prob_impar.append(y_impar)
        prob_par.append(y_par)

    plt.plot(prob_impar) #azul
    plt.plot(prob_par) #laranja

b) A probabilidade do jogador A ganhar está representada na função de frequência quando k é ímpar.
Na simulação feita no código python, a distribuição relacionada ao jogador A ganhar está representada pela cor azul no gráfico, considerando \(p_{1} = 0.3\) e \(p_{2} = 0.7\).

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