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O que é uma transformação \( \textit{variance-stabilizing}\) e como mostrar que a raiz de uma Poisson é?

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perguntada Abr 19 em Estatística por Mateus Hiro Nagata (16 pontos)  
editado 2 dias atrás por Mateus Hiro Nagata

A questão é retirada do livro Mathematical Statistics and Data Analysis - John A. Rice. - Capítulo 9 Exercício 37.

Seja \(X \) distribuída de acordo com uma Poisson com média \( \lambda \). Mostre que a transformação \( Y = \sqrt{X} \) é \( \textit{variance-stabilizing}\).

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1 Resposta

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respondida 2 dias atrás por Mateus Hiro Nagata (16 pontos)  

Primeiramente, o que é uma transformação \(\textit{variance-stabilizing}\)?

É uma transformação nos seus dados (nesse caso dados que seguem uma poisson) para que a variância não seja função da média.

Veja que tanto a variância quanto a média são iguais para uma variável com distribuição Poisson. \(E(X) = Var(X) = \lambda\). Dessa forma, a variância é obviamente uma função da média.

A motivação para tal técnica é que a variância depender da média pode implicar problemas de homoscedasticidade, além disso é útil para analisar questões gráficas em estatísticas exploratórias e aplicações de análise de variância.

Queremos que a variância não seja mais relacionada à média, supomos que a média de uma variável aleatória \(X\) é \(\mu\) e a variância seja \(\sigma^2 (\mu)\). Seja \(Y = f(X)\) a variável transformada e usando a equivalência abaixo:

\[ Var(Y) \approx \sigma^2 (\mu) [f\'(\mu)]^2. \]

Basta, então, escolher uma função \(f\) tal que \(\sigma^2 (\mu) [f'(\mu)]^2\) seja constante. Dessa forma, a função deixará de depender de \(\mu\).

Para o nosso caso, usamos a função raiz quadrada. Veja que nesse caso

\[ Var(Y) \approx \lambda [f\'(\mu)]^2 = (\frac{1}{2\sqrt{\lambda}})^2\lambda = \frac{1}{4}\]

Logo a transformação é \(\textit{variance-stabilizing}\).

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