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O que é uma transformação \( \textit{variance-stabilizing}\) e como mostrar que a raiz de uma Poisson é?

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perguntada Abr 19 em Estatística por Mateus Hiro Nagata (26 pontos)  
editado Mai 12 por Mateus Hiro Nagata

A questão é retirada do livro Mathematical Statistics and Data Analysis - John A. Rice. - Capítulo 9 Exercício 37.

Seja \(X \) distribuída de acordo com uma Poisson com média \( \lambda \). Mostre que a transformação \( Y = \sqrt{X} \) é \( \textit{variance-stabilizing}\).

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1 Resposta

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respondida Mai 12 por Mateus Hiro Nagata (26 pontos)  

Primeiramente, o que é uma transformação \(\textit{variance-stabilizing}\)?

É uma transformação nos seus dados (nesse caso dados que seguem uma poisson) para que a variância não seja função da média.

Veja que tanto a variância quanto a média são iguais para uma variável com distribuição Poisson. \(E(X) = Var(X) = \lambda\). Dessa forma, a variância é obviamente uma função da média.

A motivação para tal técnica é que a variância depender da média pode implicar problemas de homoscedasticidade, além disso é útil para analisar questões gráficas em estatísticas exploratórias e aplicações de análise de variância.

Queremos que a variância não seja mais relacionada à média, supomos que a média de uma variável aleatória \(X\) é \(\mu\) e a variância seja \(\sigma^2 (\mu)\). Seja \(Y = f(X)\) a variável transformada e usando a equivalência abaixo:

\[ Var(Y) \approx \sigma^2 (\mu) [f\'(\mu)]^2. \]

Basta, então, escolher uma função \(f\) tal que \(\sigma^2 (\mu) [f'(\mu)]^2\) seja constante. Dessa forma, a função deixará de depender de \(\mu\).

Para o nosso caso, usamos a função raiz quadrada. Veja que nesse caso

\[ Var(Y) \approx \lambda [f\'(\mu)]^2 = (\frac{1}{2\sqrt{\lambda}})^2\lambda = \frac{1}{4}\]

Logo a transformação é \(\textit{variance-stabilizing}\).

comentou Mai 21 por Fábio Springer (1 ponto)  
Interessante a forma que você conseguiu provar, bastante simples. No entanto acho que ocorreu algum problema com o LATEX.
Ademais, pode ser interessante mostrar um exemplo simples feito em R:  

variavel1 <- rpois(1000, lambda=3)
variavel2 <- rpois(1000, lambda=1)
mean(var1)
[1] 2.967
var(variavel1)
[1] 3.099095
mean(variavel2)
[1] 1.02
var(variavel2)
[1] 1.024625

Perceba que a média está próxima da variância.
Agora repetimos o processo para a variável transformada.
mean(sqrt(variavel1))
[1] 1.624973
var(sqrt(variavel1))
[1] 0.3578199
mean(sqrt(variavel2))
[1] 0.7825586
var(sqrt(variavel2))
[1] 0.40801
Agora a média e variância não parecem estar correlacionadas. Uma simulação de Monte Carlos seria mais apropriada para observar o que realmente está acontecendo, no entanto, esse exercício simples já nos dá uma intuição interessante.
comentou Mai 21 por Mateus Hiro Nagata (26 pontos)  
editado Mai 21 por Mateus Hiro Nagata
Obrigado pelo ótimo comentário. Creio que essa contribuição permite mostrar o exercício teórico!

Quanto ao problema do LaTeX é estranho, pois quando eu testo na pré-visualização, a fórmula está OK. Vou investigar qual é o problema.
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