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Propriedades da função gama e sua relação com fatorial de \(n\).

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perguntada Abr 23 em Matemática por Gustavo Libório (1 ponto)  
editado Mai 13 por Gustavo Libório

A função gama é uma função que generaliza o conceito de fatorial. Ela é dada por: \[\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt\]

a) Mostre que \(\Gamma(1)=1\)

b) Mostre que \(\Gamma(x + 1)=(x+1)\Gamma(x)\)

c) Conclua que \(\Gamma(n)=(n-1)!\) para \(n\) natural.

d) Use o fato de que \(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\) para mostrar que \(\Gamma(\frac{n}{2})=\frac{\sqrt{\pi}(n-1)!}{2^{n-1}\bigg(\frac{n-1}{2}\bigg)!}\)

Exercício 49 do capítulo 2 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice

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1 Resposta

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respondida Abr 23 por Gustavo Libório (1 ponto)  
 
Melhor resposta

A resolução vai usar essencialmente a definição da função gama.

a) Colocando diretamente \(x=1\) na definição concluímos que:

\[ \Gamma(1)=\int_0^{\infty}e^{-t}tdt \Rightarrow \Gamma(1)= -e^-t\bigg\vert_{0}^{\infty} \Rightarrow \Gamma(1)=0-(-1)=1\]

como queríamos.

b) Calculando \(\Gamma(n+1)\) vemos que ele é igual a \(\int_0^{\infty} e^{-t} t^{n}dt\). Vamos calcular diretamente \(n\Gamma(n)\) e comprovar a igualdade:

\[ n\Gamma(n)=n\int_0^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt = \int_0^{\infty}e^{-t}(nt^{n-1})dt\]

Integrando por partes a expressão acima (com \(g(x)-e^{-x} \mbox{ e } f'(x)=nt^{n-1}\) ) encotramos a expressão:

\[ n\Gamma(n)=t^n e^{-t}\bigg\vert_0^{\infty}+\int_0^{\infty}e^{-t}t^{n}dt\]

Note que \(\frac{t^n}{e^{t}} \to 0 \mbox{ quando } t\to\infty\), de modo que concluímos com:

\[ n\Gamma(n)=0-0+\int_0^{\infty}e^{-t}t^{n}d=\Gamma(n+1)\]

como pede a questão.

c) A letra b) vale para todo \(n\), então se tomarmos um \(n\in \mathbb{N}\) e usarmos a propriedade sucessivas vezes é fácil ver que:

\[\Gamma(n)=n\Gamma(n-1)=...=n\times(n-1)\times...\times(n-(n-1))\times\Gamma(1)\]

Usando a letra a) temos o resultado.

d) Queremos mostrar que para qualquer \(n\) ímpar deve valer:
\[\Gamma(\frac{n}{2})=\frac{\sqrt{\pi}(n-1)!}{2^{n-1}\bigg(\frac{n-1}{2}\bigg)!}\]

usando o fato de que \(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\).

Para tanto, vamos utilizar o princípio da indução. Primeiro note que qualquer número ímpar pode ser descrito por \( 2n-1 \) para \(n\) nos naturais. Assim, nossa proposição inicial é:

\[P_1: \Gamma\bigg(\frac{2-1}{2}\bigg)=\frac{\sqrt{\pi}(0)!}{2^{0}\bigg(\frac{0}{2}\bigg)!}=\sqrt{\pi}\]

O enunciado acima vale, de acordo com o enunciado da questão.

Agora queremos mostrar que:

\[(P_n\Rightarrow P_{n+1}) \iff \Bigg(\Gamma\bigg(\frac{2n-1}{2}\bigg)=\frac{\sqrt{\pi}(2n-2)!}{2^{2n-2}(n-1)!} \Bigg) \Rightarrow \Bigg( \Gamma\bigg(\frac{2(n+1)-1}{2}\bigg)=\frac{\sqrt{\pi}(2n)!}{2^{2n}(n)!} \Bigg) \]

Para tanto, vamos pegar nossa hipótese e usar a propridade da letra b).

Primeiro veja que:

\[\Gamma\bigg(\frac{2(n+1)-1}{2}\bigg)=\Gamma\bigg(\frac{2n+1}{2}\bigg)\\=\Gamma\bigg(\frac{2n+1}{2}-1+1\bigg)\\=\Gamma\bigg(\frac{2n-1}{2}+1\bigg)\]

Agora com a letra b) podemos afirmar:

\[ \Gamma\bigg(\frac{2(n+1)-1}{2}\bigg)=\Gamma\bigg(\frac{2n-1}{2}+1\bigg)=\bigg(\frac{2n-1}{2}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{2n-1}{2}\bigg) \]

Agora usamos a hipótese. Substituindo na expressão acima e desenvolvemos:

\[ \bigg(\frac{2n-1}{2}\bigg)\bigg(\frac{\sqrt{\pi}(2n-2)!}{2^{n-1}(n-1)!} \bigg)=\\ =\bigg(\frac{\sqrt{\pi}(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!} \bigg)\\ =\bigg(\frac{\sqrt{\pi}(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!} \bigg)\times\bigg(\frac{2n}{2n}\bigg)\\ = \bigg(\frac{\sqrt{\pi}(2n)!}{2^{2n}(n)!} \bigg)\]

como queríamos. Assim concluímos que a propriedade vale para todo \(n\in \mathbb{N}\).

comentou Mai 21 por Mateus Hiro Nagata (26 pontos)  
editado Mai 21 por Mateus Hiro Nagata
Achei a resolução super bem organizada, fácil de entender e de altíssima qualidade sem nenhum defeito qualitativo.

Vou oferecer aqui algumas curiosidades que aparecem na resolução e são totalmente opcionais.

1. A função Gamma na verdade é a extensão da função fatorial (para valores além dos naturais, em particular, para valores complexos). Dessa forma, é direto pensar que \(\Gamma(1) = 0! = 1  \), o que foi provado particularmente pelo Libório na questão a). Acho que, embora o título da postagem indique isso, seria bom falar isso implicitamente.
2. Embora seja trivial, a afirmação \( \frac{t^n}{e^t} \rightarrow 0 \) pode ser facilmente provada por sucessivas aplicações da regra de L'hôpital.
3. Outra coisa seria que uma parte da resolução na parte d) não está visível, então uma edição nessa parte ajudaria bastante.

Mais uma vez, parabéns pela resposta impecável!
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