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Como resolver o exercício 1 do capítulo 8 do livro John A. Rice 3a. Ed.?

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perguntada Abr 25 em Estatística por João Coutinho (21 pontos)  

O exercício segue:
A tabela a seguir nos mostra o número de observados dos intervalos de 1 segundo para os dados de Berkson (Seção 8.2). Quais são números esperados para uma distribuição de Poisson? Eles correspondem aos números observados?

\begin{array}{|l|l|}
\hline
n & Observados \\ \hline
0 & 5267 \\ \hline
1 & 4436 \\ \hline
2 & 1800\\ \hline
3 & 534\\ \hline
4 & 111\\ \hline
5 & 21 \\ \hline
\end{array}

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2 Respostas

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respondida Abr 25 por João Coutinho (21 pontos)  

Sabemos que a função de probabilidade de uma distribuição de Poisson é:
\[ P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \]
O total observado é:
\[ 5267+4436+1800+534+111+21=12269 \]
O valor esperado do valor observado é:
\[ E(x)=12169 \times P(X=x) \]
Ora, sabemos pelo livro que \(\lambda=0,8392\)

Calculando os valores esperados de cada um dos períodos:
\[ E(0)=12169 \times \frac{e^{-0,8392}0,8392^0}{0!}=5267,69 \]
\[ E(1)=12169 \times \frac{e^{-0,8392}0,8392^1}{1!}=4412,25 \]
\[ E(2)=12169 \times \frac{e^{-0,8392}0,8392^2}{2!}=1851,38 \]
\[ E(3)=12169 \times \frac{e^{-0,8392}0,8392^3}{3!}=517,89 \]
\[ E(4)=12169 \times \frac{e^{-0,8392}0,8392^4}{4!}=108,65 \]
\[ E(5+)=12169 -[E(0)+\cdots+E(4)]=21,14 \]
Podemos então comparar os valores observados com os valores esperados através do teste \(\chi^2\).
A hipótese nula é que a distribuição de Poisson é uma boa aproximação para os dados.
A hipótese Alternativa é que a distribuição de Poisson não é uma boa aproximação para os dados.
Sob essas circunstâncias, a estatística de teste é dada por:
\[ \chi^2=\sum\limits_{x=0}^{5+} \frac{(O(x)-E(x))^2}{E(x)} \]
Seja \(\frac{(O(x)-E(x))^2}{E(x)}=V(x)\), então podemos montar a tabela:
\begin{array}{|l|l|}
\hline
n & V(x) \\ \hline
0 & 0,00009 \\ \hline
1 & 0,127 \\ \hline
2 & 1,42\\ \hline
3 & 0,501\\ \hline
4 & 0,051\\ \hline
5+ & 0,0009 \\ \hline
\end{array}
Fazendo então \(\sum\limits_{x=0}^{5+} \frac{(O(x)-E(x))^2}{E(x)} = 2,099\)
Sabemos que temos 4 graus de liberdade para este caso. Procurando o valor crítico ao nível de significância de 0,05, achamos 9,49.
Temos entao que \(\chi^2=2,099 < 9,49\)
Logo, nós não rejeitamos a hipótese nula. Portanto podemos concluir que não há evidências que rejeitem que a distribuição de Poisson não é uma boa estimativa para os dados observados.

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respondida Mai 13 por Tales Lins Costa (36 pontos)  

Muito boa a sua resolução, João! Revisando suas contas e o que foi elaborado a conclusão está certa. O que eu posso acrescentar aqui é uma maneira de se realizar esse mesmo problema, mas utilizando o Python.

Dessa forma, eu fiz os seguintes procedimentos para replicar e chegar no mesmo V(x) que você obteve:

import numpy as np


ve = 12169 #Valor Esperado
lamb = 0.8392 #lambda
resultado = [] #resultado dos valores esperados E[X]

def exp_poisson_pmf(n, lamb, ve):
    return ve*((lamb** n * np.exp(-lamb)) / np.math.factorial(n))

for n in range(0,5):
    resultado.append(exp_poisson_pmf(n, lamb, ve))


resultado_array = np.asarray(resultado) #Transformando em Array

ve5_plus = ve - sum(resultado) #Calculo do E[5+]
print(type(ve5_plus))

resultado_array = np.append(resultado_array, ve5_plus)

print(resultado_array) # Para ver o resultado dos valores esperados de X

resultado_obs = np.array([5267,4436,1800,534,111,21]) # Resultados observados

V_x = [] #V(X)

for i in range(0,6):
    V_x.append(((resultado_obs[i]-resultado_array[i])**2)/resultado_array[i])

print(sum(V_x)) # V(X) = 2.12265420111187
comentou Mai 24 por danielcajueiro (5,581 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão. A referencia para o livro pode vir na caixa de texto abaixo.
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