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John Rice -Cap 9- Exercício 4 - Dado que \(X\) tem uma das seguintes distribuições: \[ \begin{array}{ccc} \hline X & H_0 & H_A\\ \hline x_1 & .2 & .1 \\ x_2 & .3 & .4 \\ x_ 3 & .3 & .1 \\ x_4 & .2 & .4 \\ \hline \end{array} \]

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perguntada Abr 26 em Estatística por João Pedro Mussi (21 pontos)  
editado Abr 27 por João Pedro Mussi

a) Compare a razão de verossimilhança, \(\Lambda\), para cada possível valor de \(X\) e ordene \(x_i\) de acordo com \(\Lambda\).

b) Qual é o teste de razão de verossimilhança de \(H_0\) versus \(H_A\) no nível \(\alpha = .2\)? Qual o teste no nível de \(\alpha=.5\)

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1 Resposta

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respondida Abr 27 por João Pedro Mussi (21 pontos)  

a) Razão de Verossimilhança

A razão de verossimilhança (\(\Lambda\)) é dada por \(f_0(x)/f_A(x)\) que nesse caso é pelas probabilidades das hipóteses dado no enunciado \(P(X=x_i | H_0)\) e \(P(X=x_i | H_A) \). Logo

\[\Lambda = \frac{P(X=x_i | H_0)}{P(X=x_i | H_A) } \]

\( x_1 \rightarrow \Lambda= 2 \)
\( x_2 \rightarrow \Lambda = 0.75 \)
\( x_3 \rightarrow \Lambda = 3 \)
\( x_4 \rightarrow \Lambda = 0.5 \)

Logo: \[ \Lambda_{x_3} \gt \Lambda_{x_ 1}\gt \Lambda_{x_ 2}\gt \Lambda_{x_4} \]

b)

Para esse sistema temos uma função de decisão como \(f(X) = 1\), se \( \Lambda(X) \leq c\) ou \(f(x) = 0\), se \( \Lambda(X) \gt c\). c é uma constante qualquer dada pela esperança da função de decisão ser \(H_0\) já que o nível e significância é relacionado a ela. Portanto

\[ E(f(X)) = 1\times P(\Lambda(X) \leq c | H_0) + 0\times P(\Lambda(X) \gt c | H_0) \]
\[E(f(X)) = P(\Lambda(X) \leq c | H_0) \]

O nível de significância é justamente essa esperança em relação a \(H_0\), portanto podemos assumir \[ \alpha = E(f(X)) \]

Se \(H_0\) for verdade, é possível fazer (\Lambda(X)\) ser uma variável aleatória que segue a mesma probabilidade de \(H_0\) em relação a \(x_i\)

\( x_1 \rightarrow \Lambda_1= 2 \rightarrow p= 0.2 \)
\( x_2 \rightarrow \Lambda_2 = 0,75 \rightarrow p= 0.3\)
\( x_3 \rightarrow \Lambda_3 = 3 \rightarrow p=0.3\)
\( x_4 \rightarrow \Lambda_4 = 0,5 \rightarrow p=0.2 \)

O teste de razão de verossimilhança ao nível de significância \(\alpha = 0.2\) é dado por \[P(\Lambda(X) \leq c | H_0) = \alpha = 0.2\]

Dado os valores achados da probabilidade \(\Lambda (x_i) \) temos que
\[P(\Lambda(X) \leq c | H_0) = P(\Lambda(X) = 0.5 |H_0) = \alpha = 0.2\]
Logo essa probabilidade ocorre no intervalo discreto \( c \in [0.5 , 0.75) \).
Portanto o teste de razão de verossimilhança rejeita se \( c \in [0.5 , 0.75) \) ou não rejeita caso \(\Lambda(X) \gt c \)

O teste de razão de verossimilhança ao nível de significância \(\alpha = 0.5\) segue o mesmo padrão e é dado por \[P(\Lambda(X) \leq c | H_0) = \alpha = 0.5\]
\[P(\Lambda(X) \leq c | H_0) = P(\Lambda(X) = 0.5 |H_0) +P(\Lambda(X) = 0.75 |H_0) = 0.2 + 0.3 = 0.5 \]
Logo essa probabilidade ocorre no intervalo discreto \( c \in [0.75 , 2) \).
Portanto o teste de razão de verossimilhança rejeita se \( c \in [0.75 , 2) \) ou não rejeita caso \(\Lambda(X) \gt c \)

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