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Dado que \(X\) tem uma das seguintes distribuições: \[ \begin{array}{ccc} \hline X & H_0 & H_A\\ \hline x_1 & .2 & .1 \\ x_2 & .3 & .4 \\ x_ 3 & .3 & .1 \\ x_4 & .2 & .4 \\ \hline \end{array} \]

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perguntada Abr 26 em Estatística por João Pedro Mussi (31 pontos)  
editado Mai 19 por João Pedro Mussi

John Rice -Cap 9- Exercício 4 - Segunda Edição

a) Compare a razão de verossimilhança, \(\Lambda\), para cada possível valor de \(X\) e ordene \(x_i\) de acordo com \(\Lambda\).

b) Qual é o teste de razão de verossimilhança de \(H_0\) versus \(H_A\) no nível \(\alpha = .2\)? Qual o teste no nível de \(\alpha=.5\)

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1 Resposta

+1 voto
respondida Abr 27 por João Pedro Mussi (31 pontos)  
editado Mai 21 por João Pedro Mussi

a) Razão de Verossimilhança

A razão de verossimilhança (\(\Lambda\)) é dada por \(f_0(x)/f_A(x)\) que nesse caso é pelas probabilidades das hipóteses dado no enunciado \(P(X=x_i | H_0)\) e \(P(X=x_i | H_A) \). Logo

\[\Lambda = \frac{P(X=x_i | H_0)}{P(X=x_i | H_A) } \]

\( x_1 \rightarrow \Lambda_1= 2 \)
\( x_2 \rightarrow \Lambda_2 = 0.75 \)
\( x_3 \rightarrow \Lambda_3 = 3 \)
\( x_4 \rightarrow \Lambda_4 = 0.5 \)

Logo: \[ \Lambda_{3} \gt \Lambda_{1}\gt \Lambda_{2}\gt \Lambda_{4} \]

b)

Para esse sistema temos uma função de decisão como \(f(X) = 1\), se \( \Lambda(X) \leq c\) ou \(f(x) = 0\), se \( \Lambda(X) \gt c\). c é uma constante qualquer dada pela esperança da função de decisão ser \(H_0\) já que o nível e significância é relacionado a ela. Portanto

\[ E(f(X)) = 1\times P(\Lambda(X) \leq c | H_0) + 0\times P(\Lambda(X) \gt c | H_0) \]
\[E(f(X)) = P(\Lambda(X) \leq c | H_0) \]

O nível de significância é justamente essa esperança em relação a \(H_0\), portanto podemos assumir \[ \alpha = E(f(X)) \]

Se \(H_0\) for verdade, é possível fazer (\Lambda(X)\) ser uma variável aleatória que segue a mesma probabilidade de \(H_0\) em relação a \(x_i\)

\( x_1 \rightarrow \Lambda_1= 2 \rightarrow p= 0.2 \)
\( x_2 \rightarrow \Lambda_2 = 0,75 \rightarrow p= 0.3\)
\( x_3 \rightarrow \Lambda_3 = 3 \rightarrow p=0.3\)
\( x_4 \rightarrow \Lambda_4 = 0,5 \rightarrow p=0.2 \)

O teste de razão de verossimilhança ao nível de significância \(\alpha = 0.2\) é dado por \[P(\Lambda(X) \leq c | H_0) = \alpha = 0.2\]

Dado os valores achados da probabilidade \(\Lambda (x_i) \) temos que
\[P(\Lambda(X) \leq c | H_0) = P(\Lambda(X) = 0.5 |H_0) = \alpha = 0.2\]
Logo essa probabilidade ocorre no intervalo discreto \( c \in [0.5 , 0.75) \).
Portanto o teste de razão de verossimilhança rejeita se \( c \in [0.5 , 0.75) \) ou não rejeita caso \(\Lambda(X) \gt c \)

O teste de razão de verossimilhança ao nível de significância \(\alpha = 0.5\) segue o mesmo padrão e é dado por \[P(\Lambda(X) \leq c | H_0) = \alpha = 0.5\]
\[P(\Lambda(X) \leq c | H_0) = P(\Lambda(X) = 0.5 |H_0) +P(\Lambda(X) = 0.75 |H_0) = 0.2 + 0.3 = 0.5 \]
Logo essa probabilidade ocorre no intervalo discreto \( c \in [0.75 , 2) \).
Portanto o teste de razão de verossimilhança rejeita se \( c \in [0.75 , 2) \) ou não rejeita caso \(\Lambda(X) \gt c \)

comentou Mai 19 por Caio Oliveira Dantas (16 pontos)  
editado Mai 20 por Caio Oliveira Dantas
Sua resolução está ótima, João, mas acho que algumas coisas poderiam ser escritas de forma diferente para torná-la mais intuitiva ao leitor. Minhas sugestões são:

1)Escrever a distribuição de \(\Lambda(X)\) sob \(H_0\) na mesma ordem obtida no item a:
\begin{array}{l}
x_{3} \rightarrow \Lambda_{3}=3 \rightarrow p=0.3 \\
x_{1} \rightarrow \Lambda_{1}=2 \rightarrow p=0.2 \\
x_{2} \rightarrow \Lambda_{2}=0,75 \rightarrow p=0.3 \\
x_{4} \rightarrow \Lambda_{4}=0,5 \rightarrow p=0.2
\end{array}

2) Escrever os intervalos discretos como intervalos fechados ao invés de abertos, ou mesmo como conjuntos , já que só têm um ou dois elementos.
comentou Mai 21 por João Pedro Mussi (31 pontos)  
Obrigado pelo comentário, Caio!
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