Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Como responder à pergunta 1 do capítulo 14 do livro Mathematical Statistics and Data Analysis - John A. Rice 3a.Ed.?

+1 voto
37 visitas
perguntada Abr 26 em Economia por João Coutinho (21 pontos)  

Como responder à pergunta 1 do capítulo 14 do livro Mathematical Statistics and Data Analysis - John A. Rice - 3a Ed.?
Segue a pergunta:
Converta as relações a seguir em relações lineares fazendo transformações e criando novas variáveis:
\[y=\frac{a}{b+cx}\]
\[y=ae^{-bx}\]
\[ y=ab^x\]
\[y=\frac{x}{a+bx}\]
\[y=\frac{1}{1+e^{bx}}\]

Compartilhe

1 Resposta

+1 voto
respondida Abr 26 por João Coutinho (21 pontos)  

Para o primeiro item, temos:
\[y=\frac{a}{b+cx}\]
Tomando a inversa, temos:
\[ \frac{1}{y}=\frac{b+cx}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}x \]
Podemos então definir as variáveis de tal forma:
\[ Y=y^{-1} \]
\[ X=x \]
\[ \alpha=\frac{b}{a} \]
\[ \beta=\frac{b}{a} \]
Temos então a relação linear:
\[ Y=\alpha + \beta X \]
Agora para o segundo item:
\[y=ae^{-bx}\]
Aplicando o logaritmo natual, chegamos a:
\[ ln(y)=ln(a)+ln(e^{-bx})=ln(a)-bx \]
Podemos então definir as variáveis de tal forma:
\[ Y=ln(y) \]
\[ \alpha=ln(a) \]
\[ \beta=-b \]
\[ X=x \]
Temos então a relação linear:
\[ Y=\alpha + \beta X \]
Vendo agora o terceiro item:
\[ y=ab^x\]
Aplicando o logaritmo natural, chegamos a:
\[ ln(y)=ln(a)+xln(b) \]
Definindo as variáveis como:
\[ ln(y)=Y \]
\[ ln(a)=\alpha \]
\[ x=X \]
\[ ln(b)=\beta \]
Temos a relacao linear:
\[ Y=\alpha + \beta X \]
Agora para o quarto item:
\[y=\frac{x}{a+bx}\]
Tomando a inversa, chegamos a:
\[ \frac{1}{y}=\frac{a+bx}{x}=\frac{1}{x}a+b \]
Definindo as variaveis como:
\[y^{-1}=Y\]
\[x^{-1}=X\]
\[a=\beta\]
\[b=\alpha\]
Temos a relação linear :
\[Y=\alpha + \beta X\]
Por fim, no último item temos:
\[y=\frac{1}{1+e^{bx}}\]
Tomando a inversa, chegamos a:
\[ y^{-1}=1+e^{bx}\]
Aplicando o logaritmo natural, temos:
\[ln(y^{-1})=ln(1)+ln(e^{bx})=bx\]
Definindo as variáveis como:
\[ln(y^{-1})=Y\]
\[b=\beta\]
\[x=X\]
Temos a relação linear:
\[Y=\beta X\]

comentou Mai 20 por Caio Oliveira Dantas (16 pontos)  
Ótima resolução, João! Vale ressaltar o provável uso incorreto do termo "linear" no enunciado original, onde o autor certamente quis dizer "afim".
De qualquer modo, se tomássemos "linear" no sentido literal bastaria incluir uma linha de 1 no topo de \(X\) e uma coluna \(\alpha\) à esquerda de \(\beta\) para obter a forma linear de fato, \(Y=βX\).
comentou Mai 24 por danielcajueiro (5,581 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão.
...