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Como resolver o exercício 1 do capítulo 4 do livro Mathematical Statistics and Data Analysis 3a.Ed. - John A. Rice?

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perguntada Abr 26 em Estatística por João Coutinho (21 pontos)  

A pergunta segue:
Mostre que se uma variável aleatória é limitada, isto é se \( |X|< M < \infty \), então E(X) existe.

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1 Resposta

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respondida Abr 26 por João Coutinho (21 pontos)  
editado Abr 26 por João Coutinho

Ora, se temos:
\[ \left|X\right| \lt M \lt \infty \implies P(|X|\lt M)=1 \]
Temos que mostrar que E(X) existe.
Repare que há dois casos possíveis, o contínuo e o discreto.
Resolveremos para cada um deles separadamente.
Para o caso contínuo:
Sabemos que E(X) existe se, e somente se, \(\int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|f(x)dx \) converge.
Isto é:
\[E(X) \exists \iff \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|f(x)dx \lt \infty \]
Sabemos que \(|X|\lt M \lt \infty\)
Então temos:
\[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|f(x)dx \lt \int\limits_{|X|\lt M} M f(x)dx=M\int\limits_{\left|X\right|\lt M}f(x)dx=M\times1 \]
Onde a última igualdade vem do fato de \(P(|X|\lt M)=1\)
Ora, sabemos que:
\[M \lt \infty \implies \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|f(x)dx \lt \infty \]
Portanto, não só ele converge, como sabemos que é:
\[\therefore E(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|f(x)dx \lt \infty \]
Vamos agora para o caso discreto.
Nós sabemos que E(X) existe se, e somente se, a soma:
\( \sum_{i=1}^{n}\left|x_i\right|p(x_i) \) converge.
Isto é,
\[ E(X) \exists \iff \sum_{i=1}^{n}|x_i|p(x_i) \lt \infty \]
Nós sabemos que \(|X|\lt M \lt \infty\)
Então temos:
\[ \sum_{i=1}^{n}|x_i|p(x_i) \lt \sum_{|X|\lt M}Mp(x_i)=M\sum_{|X|\lt M}p(x_i)=M\times 1 \]
Onde a última igualdade vem do fato de \(P(|X| \lt M)=1\).
Ora, sabemos que:
\[M<\infty \implies \sum_{i=1}^{n}|x_i|p(x_i) \lt \infty\]<br> Portanto, não só ele converge, como sabemos que é:
\[\therefore E(X)=\sum_{i=1}^{n}|x_i|p(x_i) \lt \infty\]

comentou Mai 14 por Lucas Iantorno Klotz (26 pontos)  
editado Mai 14 por Lucas Iantorno Klotz
Oi, João, boa resposta. Em ambos os casos a resolução foi clara e objetiva. Destaque para a manipulação em que você usou \(P(|X|<M) = 1\). Seguindo as definições de Rice (2007), podemos entender \(E(X)\) como o centro de massa de densidade da variável \(X\). Para o caso discreto temos:
\[E(X) = \sum x_ip(x_i),\]
em que  \(\sum|x_i|p(x_i) < \infty\). Enquanto que para o caso contínuo:
\[E(X) =  \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) \,dx, \]
em que \(\int|x|f(x)dx<\infty\). Com as definições em mente, fica clara a sua estratégia de resolução. Sabemos que se tanto a soma (para o caso discreto) como a integral (para o caso contínuo) divergem, a esperança da variável \(X\) não estará definida.  De fato, foi isso que você mostrou. Além disso, como explicitado, não apenas garantiu a convergência como também mostrou a própria esperança para os dois casos, encerrando o problema.

Apenas um adendo referente a notação, acredito que seja melhor escrever \(\exists E(X)  \Leftrightarrow (...) \), da mesma forma significa "Existe esperança se, e somente se" e fica na forma mais usual que conhecemos.
comentou Mai 24 por danielcajueiro (5,501 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão. A referencia para o livro pode vir na caixa de texto abaixo.
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