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Encontre a estimativa de mínimos quadrados de \(\beta\) para a reta \(y = \beta x \) para os pontos \((x_i,y_i)\), onde i= 1, ... , n

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perguntada Abr 28 em Estatística por João Pedro Mussi (31 pontos)  
editado Mai 19 por João Pedro Mussi

Mathematical Statistics and Data Analysis 3 Edição - Cap 14 - Exercício 15- Segunda Edição

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1 Resposta

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respondida Abr 28 por João Pedro Mussi (31 pontos)  

Pelo método de mínimos quadrados, é necessário minimizar os resíduos da regressão dado por \( e = y - \hat y_i \) em que \( \hat y_i = \hat\beta x_i \). Logo para a minimização será:
\[ min_\beta \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat\beta x_i)^2 \]
Calculando a CPO derivando a equação e igualando a zero temos:
\[ \sum_{i=1}^{n} (-2x_i) (y_i - \hat\beta x_i) = 0 \]
\[ \sum_{i=1}^{n} x_i (y_i - \hat\beta x_i ) = 0 \]
\[ \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \hat\beta\sum_{i=1}^{n} x_i ^2 = 0 \]
Isolando \(\beta\) temos que:
\[ \hat\beta = \dfrac{ \sum_{i=1}^{n} x_i y_i} {\sum_{i=1}^{n} x_i ^2} \]
Que é a resposta final.

comentou Mai 21 por Mihalis E. Yacalos (1 ponto)  
Parabéns pela resposta! Adiciono que podemos também resolver esse problema de forma matricial, que é até mais prático.
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