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Como resolver a questão 3 do Cap. 3 do livro Mathematical Statistics and Data Analysis, John A. Rice?

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perguntada Abr 28 em Economia por Tales Lins Costa (36 pontos)  
editado Abr 29 por Tales Lins Costa

Três jogadores jogam 10 rodadas independentes de um jogo, e cada jogador tem a probabilidade de \( \frac{1}{3}\) de vencer cada rodada. Descubra a distribuição conjunta do número de jogos ganhos por cada um dos três jogadores.

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2 Respostas

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respondida Abr 30 por Rodrigo Fernandes (61 pontos)  
selecionada Mai 17 por Tales Lins Costa
 
Melhor resposta

Boa resposta, Tales. Acho que você chegou no pedido de forma direta, usando os conceitos necessários e não tenho muito o que acrescentar.
Só queria colocar um curto código no Python mostrando um pouco como lidar com esse tipo de distribuição.

import numpy as np

caso = np.random.multinomial(10, [1/3.]*3, size=1) #esse é o comando para criar distribuições multinormais do exercício
print(caso) # nos são fornecidos três números. cada um indica a quantidade de vezes que saíram os casos y1, y2 e y3, respectivamente, de um total de 10 vezes (o "n" do exercício).

s = 5000 # número de simulações
a = np.asmatrix(np.zeros((s,3))) # criando uma matriz para simular um número dado de vezes (embora o comando random.multinomial já tenha uma opção de simular várias vezes, imagino que dessa forma seja mais fácil organizar)

for i in range(s): #criando uma matriz com n casos de multinormal 
    a[i] = np.random.multinomial(10, [1/3.]*3, size=1)
    i += 1

media = a.mean(0) # 

Podemos ver que a média de cada \(y_{i}\) fica perto de 3,333... e se aproxima cada vez mais com aumento de n (o leitor pode experimentar em casa se desejar). Ou seja, se aproxima do valor esperado de \(\frac{1}{3}*10\).

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respondida Abr 28 por Tales Lins Costa (36 pontos)  

Para encontrar essa distribuição conjunta, pode-se usar da distribuição multinomial, que conforme o livro, é uma importante generalização da conhecida distribuição binomial.

Dado \(k\) indivíduos, com suas respectivas probabilidades fixas, \(p_k\), sabemos que ocorrem \(n\) ensaios independentes. Assim, essa distribuição multinomial vai nos gerar a probabilidade de qualquer combinação particular de número de sucessos para os diferentes \(k\) indivíduos.

Sendo assim, a fórmula da distribuição multinomial é dada por:

\( p(y_1, y_2, ..., y_k) = \frac{n!}{y_1!y_2!...y_k!}\)\(p_1^{y_1}\)\(p_2^{y_2}\)\(...p_k^{y_k}\)

Para esse problema em específico, sabemos que:

\(n=10\)
\(k=3\)
\(p_1=p_2=p_3=\frac{1}{3}\)

Logo, a distribuição conjunta do número de jogos ganhos por cada um dos três jogadores será dada por:

\( p(y_1, y_2, y_3) = \frac{10!}{y_1!y_2!y_3!}\)\((\frac{1}{3})^{y_1}\)\((\frac{1}{3})^{y_2}\)\((\frac{1}{3})^{y_3}\)

Respondendo, então a pergunta.

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